2022-2023学年四川省泸州市高二下学期期末数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省泸州市高二下学期期末数学（理）试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市高二下学期期末数学（理）试题 一、单选题1．命题“，”的否定是（    ）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】由题意可知：命题“，”的否定是“，”.故选：A.2．复数z满足，则（    ）．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再结合共轭复数的意义、复数加法求解作答.【详解】依题意，，则，所以.故选：B3．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．A．57周岁以上参保人数最少B．18～30周岁人群参保总费用最少C．C险种更受参保人青睐D．31周岁以上的人群约占参保人群80％【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.故选：B4．在区间上随机选取一个数M，执行如图所示的程序框图，且输入x的值为2，然后输出n的值为N，则的概率为（    ）．  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据程序框图分析可得，再结合几何概型运算求解.【详解】因为，则，可得；因为，则，可得；因为，则，输出，即；所以的概率.故选：C.5．已知条件p：函数在区间上单调递增，条件，则p是q的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出条件的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，因此，解得，显然，所以p是q的充分不必要条件.故选：A6．某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（    ）．A．400 B．600 C．800 D．1200【答案】D【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在90分到120分的概率，即可求解作答.【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，由，得，所以此次数学考试成绩在90分到120分之间的人数约为.故选：D7．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.【详解】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.  8．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，利用给定的单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最大值作答.【详解】函数，求导得，依题意，，恒成立，令函数，，求导得，因此函数在上单调递增，即，则，显然当时，，当时，，而，即有，所以实数m的取值范围是.故选：C9．已知，，是圆上的动点，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】线段的中点为，考虑和两种情况，计算垂直平分线，再根据垂直平分线和圆有交点得到，解得答案.【详解】线段的中点为，当时，存在点满足；当时，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得．若，则直线与圆有公共点，所以，整理得，因为，所以，解得．综上可知，的取值范围是．故选：C10．为了防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为A．150 B．180 C．200 D．280【答案】A【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【详解】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有种，若是1，2，2，则有种所以共有150种不同的方法．故选：．【点睛】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定，属于中档题．11．已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C的右支上，若，且直线与C的一条渐近线平行，则C的离心率为（    ）．A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义、直线斜率、勾股定理列式可得关系，从而可得双曲线离心率.【详解】如图，  双曲线的渐近线方程为，由双曲线的定义可得①，因为，所以，则②，又直线与C的一条渐近线平行，所以③，联立①③得：，代入②得：，即，则双曲线的离心率.故选：D.12．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据式子结构，把变形为，构造函数，根据在上单调递增，得到，即，令，利用导数判断单调性，求出最小值.【详解】因为，即，所以，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令.则.令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.即的最小值为.故选：B【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围. 二、填空题13．甲乙两名篮球运动员最近6场比赛的得分如茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，中位数也相等，则的值是          ．【答案】2【分析】根据题意结合平均数、中位数的定义运算求解.【详解】由题意可知：甲的得分依次为：，可得其平均数为，中位数为；乙的得分依次为：，可得其平均数为，因为，可得，因为，不妨设，可知若，则，乙的中位数为，不合题意；若，则，乙的中位数为，符合题意；若，则，乙的中位数为，不合题意；综上所述：，，可得.故答案为：2.14．设x，y满足条件，则的最大值为          ．【答案】4【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，，所以的最大值为4.故答案为：415．写出使“的展开式存在常数项”的n的一个取值          ．【答案】3（答案不唯一）【分析】求出二项式展开式的通项公式，再分析计算作答.【详解】二项式展开式的通项公式，由，得，又，因此，所以n的一个取值为3.故答案为：316．已知定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，设函数的导函数为，给出以下结论：①；②函数的图象关于点对称；③若时，函数在上是减函数；④若函数恰有四个零点．则a的取值范围是．其中正确的序号是          （写出所有正确命题的编号）．【答案】①②④【分析】根据函数的对称性及函数的零点可判断①；由于对称可得，两边求导，可得导函数的对称性，可判断②；对导函数求导，可得的单调性，从而判断③；由函数零点的定义，孤立参数即可求得满足函数恰有四个零点时，实数a的取值范围，可判断④.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，当时，，所以，所以，故①正确；对两边求导可得，所以函数的图象关于点对称，故②正确；若时，当时，，则，令，则恒成立所以函数在上是增函数，故③不正确；因为恰有四个零点，所以当时，恰有两个零点，且当时，恰有两个零点，因为时，，令，则有或，所以有一个解且不为，因为，即，所以与在时的图象有一个交点，令，则，所以在单调递减，又，当逼近于时，逼近于0，且，因为与在时的图象有一个交点，所以，且，因为函数的图象关于直线对称，所以当时，同理可得且，所以当恰有四个零点，则的取值范围是，故④正确.综上，正确的序号是①②④.故答案为：①②④. 三、解答题17．2023年1月9日，中国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭（下简称长七改火箭），成功发射实践二十三号卫星，中国航天实现2023年宇航发射“开门红”．为了解某中学高二学生对此新闻事件的关注程度，从该校高二学生中随机抽取了50名学生进行调查，调查样本中有20名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“长七改火箭”的部分）．(1)请你依据2×2列联表的独立性检验，判断该校高二学生是否有95％的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关？ 关注没关注合计男   女   合计   (2)若将频率视为概率，现从该校高二的女生中随机抽取3人，记被抽取的3名女生中对“长七改火管”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列和均值．附：，其中．0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列联表见详解，没有95％的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关(2)分布列见详解， 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）根据题意分析可得，结合二项分布求分布列和期望.【详解】（1）由题意可知：样本中有30名男生，20名女生，其中男生关注“长七改火箭”的有人，女生关注“长七改火箭”的有人，可得列联表为 关注没关注合计男151530女61420合计212950则，所以没有95％的把握认为对“长七改火箭”的关注程度与性别有关.（2）由题意可得：女生关注“长七改火箭”的频率为，则，可得的取值可能为，则：，，所以的分布列为0123可得的期望.18．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)当时，函数在上的最小值为，求a的值．【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解不等式作答.（2）利用（1）的结论求出最小值，即可计算作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，当时，由得或，即函数在上单调递增，当时，由得或，即函数在上单调递增，所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，于是，解得所以a的值为.19．新能源汽车绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某充电站6天使用充电桩的用户数据如下表，用两种模型①；②分别进行拟合，得到相应的回归方程分别为，，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值（残差值＝真实值－预测值）．日期x（天）123456用户y（人）132243455568模型①的残差值0.4模型②的残差值0.34.33.8参考数据：，，，．(1)若残差值的绝对值之和越小，则模型拟合效果越好．根据表中数据，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)若残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回归方程（参考公式：，）．【答案】(1)应该选模型①，理由见解析.(2) 【分析】（1）求出两模型的残差值得绝对值之和进行比较即可.（2）先剔除异常数据，然后利用回归方程的公式结合已知数据进行计算即可.【详解】（1）当时，，所以，当时， ，，模型①残差值的绝对值之和为：，模型②残差值的绝对值之和为：，因，所以模型①的拟合效果较好，应该选模型①.（2）由题意剔除异常数据即第3天的数据后，得，，，，，故关于的回归方程为.20．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相交于两点M，N，且．(1)求C的方程；(2)若点，直线与椭圆C交于两点B，D，且与x轴交于点T．连接和．从下列三个条件中选取一个作为条件，探究直线l是否过定点，如是，请求出，如果不是，请说明理由．①点B关于x轴的对称点在直线上；②若直线与直线的倾斜角分别为，，且满足；③B，D两点不在x轴上，设和的面积分别为和，且．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)过定点，理由见解析. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可列方程求解，（2）无论选择哪一个条件，问题都转化为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据斜率公式，代入化简即可求解，进而可得定点坐标.【详解】（1）由直线与椭圆C相交于两点M，N，且可知点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为（2）若选①点B关于x轴的对称点在直线上；则可知直线，关于x轴对称，所以，联立直线与椭圆的方程得，设，由韦达定理可得，，，因此，化简得，此时，符合题意，此时直线为恒过定点，若选②若直线与直线的倾斜角分别为，，且满足；则，故，接下求解与选①同.若选择③B，D两点不在x轴上，设和的面积分别为和．由于,又，所以,所以，接下求解与选①同.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为 (为定值),则直线过定点21．设函数，，其中e是自然对数的底数．(1)若曲线在处的切线与曲线相切，求a的值；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)证明见详解 【分析】求得，根据导数的几何意义运算求解；分析可得，构建，利用导数结合零点存在性定理以及隐零点问题可得，进而可得结果.【详解】（1）因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即，又因为，则，设直线与曲线的切点为，可得，解得，所以a的值为.（2）因为，，可得，构建，可知的定义域为，且，构建，可知的定义域为，且，因为在内单调递增，则在内单调递增，且，所以在内存在唯一零点，当时，，则在内单调递减；当时，，则在内单调递增；且，所以在内存在两个零点，且，当时，，则在内单调递增；当时，，则在内单调递减；且x趋近于0时，趋近于，又因为，即，可得，构建，则，可知在内单调递减，且，所以在内单调递减，且，即，所以在内恒成立，故，即.  【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)；(2)8 【分析】（1）把消去可得曲线C的普通方程；利用两角和与差的正弦公式展开，把，代入可得直线l的直角坐标方程；（2）先得到直线的参数方程（s为参数），代入曲线C的方程得到，利用s的几何意义，可设，，再结合韦达定理可求.【详解】（1）因为（t为参数），所以，所以曲线C的普通方程为， 因为，所以，因为，，所以直线l的直角坐标方程为.即（2）由（1）可得直线l的参数方程（s为参数），代入，整理得，设，，则，，所以.23．函数，设恒成立时m的最大值为n．(1)求n的值；(2)若a，b，c为正数，且满足，证明：．【答案】(1)4(2)证明见解析 【分析】（1）零点分段讨论，去掉绝对值，通过单调性得最小值解决恒成立问题，可求n的值；（2）利用柯西不等式证明结论.【详解】（1），，所以在上单调递减，在上单调递增，，由恒成立，则有，得.（2）由（1）可知若a，b，c为正数，由柯西不等式，得，当且仅当时等号成立，由，有，所以.