2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：C.2．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为在上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3．已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；作出在上的图象，如图：由图可知要使有3个不同的实根，则.故选：D.4．已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由知：，可得，所以在上的投影向量为.故选：A5．在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.【详解】由题可知，，因为，，所以，，又，所以，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A  6．三面角是立体几何的重要概念之一.三面角是指由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成夹角为，则.现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，作，平面，则，先表示出，接着用条件表示成，要使三棱锥的体积最大，则最大，利用基本不等式得出时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.【详解】由题知，，，，平面与平面所成夹角为，作，平面，则，  由题意得，，，，，，所以，要使三棱锥的体积最大，则最大，在中，由余弦定理得，，整理得，，，即，当且仅当时，等号成立，则，，，因为，解得，所以，，即，，，所以补全三棱锥成棱柱，如下图，  则四边形是菱形，点为其外接球的球心，即中点，所以，，，所以外接球半径为，即三棱锥外接球的表面积为.故选：B【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析：（1）面面角的定义以及辨析；（2）求解最值时，基本不等式的利用；（3）几何体割补法的应用；（4）数形结合思想的应用.7．已知函数在处取得极大值10，则的值为（    ）A． B．或2 C．2 D．【答案】A【分析】求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】，则，根据题意：，解得或，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故处取得极小值，舍去；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，故处取得极大值，满足.故.故选：A.【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出m的取值范围.【详解】当时，，，，，单调递减，，，单调递增，，因为的最小值为，所以当时，，当时，.①若，在上单调递减，，，得； ②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.综上.故选：B.10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（    ）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】由的取值范围为可求出，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出即可得出答案.【详解】，，所以，所以，解得：，设，由正弦定理可得：，，可得：，又因为，设内切圆的圆心为A，所以，所以，所以，又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，，所以，故当时，mn取得最大值为.故选：C.11．设随机变量，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由结合二项分布概率公式以及方差公式求解即可.【详解】因为，，所以，即，解得，即，所以.故选D.12．三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：①甲是第三名；②乙不是第一名；③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为（   ）A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙【答案】A【分析】利用反证法，逻辑推理处矛盾.【详解】若①正确，②③不正确，即甲是第三名，乙是第一名，丙是第三名，则甲丙都是第三名，矛盾；若②正确，①③不正确，即甲不是第三名，乙不是第一名，丙是第三名，则甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；若③正确，①②不正确，即甲不是第三名，乙是第一名，丙不是第三名，此时没有人是第三名，不符合题意.综上，甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.故选：A. 二、填空题13．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则       .34562.544.5 【答案】3【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.【详解】解：，，所以样本中心点为：.因为回归方程，样本中心点在回归方程上，所以，解得：.故答案为：3.【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.14．有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是         .【答案】/0.75【分析】利用等差中项易知，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由，且，则，当且仅当时等号成立且满足题设.故答案为：15．如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为       .  【答案】【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率.【详解】由题可知关于原点对称，所以又在双曲线上，所以，则，所以，即，①∴由，连接，可得可得，②  由①②联立，所以离心率.故答案为：.16．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为          ．【答案】/【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.【详解】因为双曲线，则，，所以，因为为双曲线右支上一点，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案为： 三、解答题17．已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.【答案】(1)(2)的单调递增区间为，，的单调递减区间为 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数判断函数的单调性可得答案.【详解】（1）因为所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）由函数在处取得极值可知：，即，解得：，此时，，，当，时，，当时，，所以符合题意.综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.18．已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．(1)若时，求证：平面平面；(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）因，，，则有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.（2）在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，则为二面角的平面角，平面，，于是得，中，，则，在中，，，，由余弦定理得，则有，显然平面平面，在平面内过B作，则平面，以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，令，得而，设与平面所成的角为，所以与平面所成的角的正弦值为.19．在数列中，，.(1)证明是等比数列；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据递推关系结合等比数列的定义即得；（2）根据等比数列的通项公式结合条件可得，然后利用裂项相消法即得.【详解】（1）由已知可得，∴，又，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，因此，，所以.20．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：月份12345不戴头盔人数120100907565(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 不戴头盔戴头盔伤亡1510不伤亡2550参考数据和公式：， 【答案】(1)；(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关 【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；（2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【详解】（1）由题意知， ， ，  ， 所以，回归直线方程为（2） 故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关21．某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动.(1)求小王恰好摸出1个黄球的概率；(2)设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型公式计算求解即可；（2）分情况写出离散型随机变量的分布列及数学期望即得.【详解】（1）记事件：小王恰好摸出1个黄球，则.（2）由题意，得的可能取值为0，50，100，200，，，，.所以X的分布列为X050100200P所以.22．已知.(1)若，求的极值；(2)若，，，且，其中，，求证：.【答案】(1)极大值为；无极小值(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数法求解；（2）易得在单调递增，再由，两边取对数得到，则有，又，且，，进而转化为证明.【详解】（1）解：由题：，，令，解得，列表如图:单调递增单调递减故当时，取得极大值，极大值为；无极小值.（2）证明：若，则，结论成立；若，，令，得，当时，，故在单调递增.要证，只需证，又，且在单调递增，故只需证明，又因为，故只需证明，由，，故只需证明：，令，只需证，，在单调递增，. 证毕.【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是利用在单调递增，将证，转化为进而转化为证，再结合，，得到而得证.