2022-2023学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．若函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用乘法的求导法则结合倍角余弦公式即可求解.

【详解】，

故选：C

2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．

【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，即.

故选：A.

3．若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.

【详解】对于，，

所以，即.

对于，，

因为函数在上单调递增，

所以当时，，

则，即.

所以p是q的必要不充分条件.

故选：B.

4．某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为．已知当贷款小微企业的年收入为10万元时，其实际还款比例为50%，若银行期待实际还款比例为60%，则贷款小微企业的年收入约为（    ）（参考数据：，）

A．14万元 B．16万元 C．18万元 D．20万元

【答案】C

【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可．

【详解】由题意可知，

，得，．

令，

得，

得，

取对数得

得．

故选：C

5．函数的部分图象大致为（    ）

A．   B．

C．   D．  

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除排除CD选项；进而取特殊值和排除B选项，进而即可求解.

【详解】由，得，

所以函数的定义域为，关于原点对称，

又，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；

当时，函数，

当时，函数，故排除B选项.

故选：A.

6．已知定义在上的奇函数，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性以及自变量的取值范围，即可代入求解.

【详解】由于所以，

由于为奇函数，所以，

，

所以，

，

故选：C

7．定义在上的函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用给定的性质把函数值化成上某个数对应的函数值，再利用单调性比较作答.

【详解】因为在上的函数满足，则，，

又，于是，

所以.

故选：D

8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】把函数有3个不同零点问题转化成方程有两个不同解，再利用导数结合函数图象求解作答.

【详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，，且，恒有，

由，得，即或，由，得，

于是函数有3个不同零点，当且仅当方程有2个不同的解，即直线与图象有2个公共点，

在同一坐标系内作出直线与的图象，如图，

观察图象知，当，即时，直线与的图象有2个公共点，

所以实数m的取值范围为.

故选：C

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

二、多选题

9．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A，结合对数函数的单调性将与3作大小比较，进而判断即可；

对于B，化简，，进而根据对数的运算性质计算即可判断；

对于C，结合对数函数的单调性可得，，进而根据不等式的基本性质判断即可；

对于D，化简，进而根据基本不等式即可判断.

【详解】对于A，因为，，

所以，故A错误；

对于B，因为，即，

，即，

所以，故B正确；

对于C，因为，由A选项知，，

所以，故C正确；

对于D，由B选项知，，，

因为，且，，

所以，

即，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数，则（    ）

A．有极大值

B．在上单调递增

C．的图象关于点中心对称

D．对，，都有

【答案】ACD

【分析】求导得函数的单调性，即可求解极值判断AB，根据对称满足的函数关系即可化简验证求解C，作差，结合不等式的性质即可求解D.

【详解】的定义域为，求导得，

当和时，单调递减，当和时，单调递减，故当时，函数取极大值，故A正确，B错误；

，故的图象关于点中心对称，C正确；

，

由于，，，，，，

，

故，故D正确，

故选：ACD

【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

11．对于函数，若在其定义域内存在使得，则称为函数的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据一元二次方程的判别式可判断A，根据零点存在性定理可判断B,由特殊值可求解C,利用导数求解函数的单调性,进而求解函数的最值即可判断D.

【详解】对于A,定义域为,则，由于,故方程无实数根，故A错误，

对于B,定义域为,，记，则的图象是连续不断的曲线，,,根据零点存在性定理可知在存在零点，故B正确，

对于C,定义域为，，由于，所以是的一个不动点，故C正确，

对于D,的定义域为，，令，则，

故当单调递减，当单调递增，故当时，取极大值也是最大值，故，故在无实数根，故D错误，

故选:BC

12．关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（    ）

A．无论a取何值，两曲线都有公切线

B．若两曲线恰有两条公切线，则

C．若，则两曲线只有一条公切线

D．若，则两曲线有三条公切线

【答案】BCD

【分析】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断A选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解.

【详解】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，

因为，，

所以，，

所以公切线的方程为，即，

也可以为，即，

所以，即化简得，

即，

若，，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误；

①令，

则，

所以，

令，则；令，则，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

当，即时，有两解，

即方程在时有两解.

当，即时，只有一解，

即方程在时只有一解.

当，即时，无解，

即方程在时无解.

②令，

则，

所以，

所以函数在上单调递减，

而当时，，，则，

当时，，，则，

所以函数在上一定存在使得，

即方程在时只有一解.

综上所述， 当时，有两条公切线，故B正确；

当时，有一条公切线，

而，所以时，只有一条公切线，故C正确；

当时，有三条公切线，

而，所以时，有三条公切线，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：求两曲线的公切线及其相关问题时，常常结合导数的几何意义表示出公切线方程，列出方程组分析求解.

三、填空题

13．写出一个同时具有下列性质的函数      ．

①；②为增函数．

【答案】（形如都可以，答案不唯一）

【分析】根据对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果.

【详解】取，该函数的定义域为，

对任意的、，，

即满足①；

又因为函数为定义域上的增函数，即满足②.

故函数满足条件.

故答案为：（形如都可以，答案不唯一）.

14．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为      ．

【答案】

【分析】依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，结合二次函数的性质求出的最大值，即可求解.

【详解】因为，，

所以，

又函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，对称轴为直线，

所以函数在上单调递减，

所以，

所以，

即实数a的取值范围为.

故答案为：.

15．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为      ．

【答案】

【分析】根据指数函数和对数函数的性质可得时，.若，当时，，结合图象可得，进而求解；若，当时，方程有1个解，结合图象可得，进而求解即可.

【详解】当时，，则，

若，当时，，

因为方程有两个不相等的实数根，如图，

所以，即.

若，当时，，此时方程有1个解，如图，

当时，方程有1个解需满足，即.

综上所述，实数a的取值范围为.

故答案为：.

四、双空题

16．若是区间上的单调函数，满足，，且（为函数的导数），则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与x轴交点的横坐标，当与的误差估计值（m为的最小值）在要求范围内时，可将相应的作为的近似值．用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为      ，相应的值为      ．

【答案】     2    

【分析】根据牛顿切线法，求解切线方程为，进一步得到，代入检验与的误差估计值不超过0.01即可求解.

【详解】设则，，当，故可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值.

由于在单调递增，所以，所以的最小值为2，即，

图象在点处的切线方程为，化简得，

令，则，

由于，所以，，

，，

，，

故作为的近似值，

故答案为：2，

五、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）分别求解集合，再根据集合间的交集运算即可求解；

（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

而，

所以.

（2）因为，所以，

当时，，即，此时满足；

当时，要使成立，

则需满足，解得.

综上所述，实数的取值范围是或.

18．已知函数，的解集为．

(1)求a，b的值；

(2)若是定义在上的奇函数，且当时，，求不等式的解集．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，进而根据韦达定理即可求解；

（2）先求得时，，结合导数分析其单调性，进而结合奇函数的性质可得函数是在上的单调性，进而转化为，进而利用单调性即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

又的解集为，

所以1和2是方程的两个根，且，

所以，解得，.

（2）由（1）知，，

由题意，当时，，

则，

所以函数在上单调递增，

又是定义在上的奇函数，，

所以函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增.

由，得，

所以，即，

所以不等式的解集为.

19．若函数在处取得极小值．

(1)求的图象在点处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分析可得，求出、的值，然后利用函数的极值与导数的关系验证即可，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）由参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为，则，

因为函数在处取得极小值，则，解得，

此时，，则，

由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，函数在处取得极小值，合乎题意，

则，，

因此，的图象在点处的切线方程为，

即.

（2）解：由可得，

设，则，

因为，

由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，故.

20．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，，使得．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解；

（2）结合（1）中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证.

【详解】（1）因为，则，

当时，，函数在上单调递减；

当时，

当时，单调递减，时，单调递增；

综上，当时，函数在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，

若，使得，

只需，即恒成立即可，

令，则，

当时，单调递增，当时，，单调递减，

故当时，，

所以，使得.

21．某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．

(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？

(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．

【答案】(1)不能实现

(2)投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元

【分析】（1）当时，，对函数求导后求出其单调区间，从而可求出其最大值，再与30比较即可；

（2由（1）可知当时，的最大值为，然后求出时的最大值进行比较判断

【详解】（1）当时，，

则，

令，则，化简得，解得或（舍去），

当时，，则在上递增，

当时，，则在上递减，

所以当时，取得最大值，

因为，所以目标不能实现；

（2）由（1）可知，当时，公司年增加最大利润为万元，

当时，，

所以当时，取得最大值45，

因为，

所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元.

22．已知函数．

(1)求函数的零点个数；

(2)若有两个极值点，求实数的取值范围．

【答案】(1)个零点

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，根据及取值的特征，可得的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；

（2）求出的解析式与导函数，依题意可得有两个变号零点，令，则只需，有两个变号零点，利用导数求出函数的最小值，即可得到不等式，从而求出的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，，

显然在上单调递增，又，，

所以存在，使得，即，

当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，

且，

且时且，，

所以在上有唯一的零点.

（2）因为，定义域为，

则，

因为有两个极值点，所以有两个变号零点，

令，，，则，

所以在上单调递增，

要使以有两个变号零点，只需，有两个变号零点，

，

当时在上恒成立，单调递增，不满足题意，

当时，当，，即单调递减，

当，，即单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，，

要使有两个变号零点，则，即，解得，

此时，，

所以在和上各有一个变号零点，满足题意，

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．