2022-2023学年山东省青岛市平度市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省青岛市平度市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.

【详解】由得，则；

当时，，所以；所以.

故选：.

2．已知a，b为实数，则“”是“”的（    ）

A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件

【答案】C

【分析】根据题意，分别验证必要性与充分性即可得到结果.

【详解】若，则，可得，反之，若，则可能为负数，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

3．将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（    ）

A．90种 B．150种 C．180种 D．250种

【答案】B

【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果.

【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种，

①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法，

②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法，

所以由分类加法原理可知共有种分法，

故选：B

4．已知函数，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】先求出，再求的值即可.

【详解】因为，所以，

所以，

故选：D

5．若的展开式中常数项是10，则m＝（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解.

【详解】解：，

的展开式的通项公式为，

令，解得，则的展开式的常数项为；

令，解得，则的展开式的常数项为，

因为的展开式中常数项是10，

所以，解得，

故选：D

6．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数

C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数

【答案】A

【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数.

【详解】由得：或，的定义域为；

，是奇函数；

，

在上单调递增，在上单调递增，

由复合函数单调性可知：在上是增函数.

故选：A.

7．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B．16 C． D．8

【答案】B

【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】正实数满足，

可得，当且仅当时，等号成立，

即，解得，

所以的最小值为.

故选：B.

8．定义在R上的函数满足，且时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由，构造函数，利用其单调性求解.

【详解】因为，

令，则，

所以在上递增，

所以，所以，

所以，故C错误；

，

因为定义在R上的函数满足，

所以函数是奇函数，所以，即，故A正确；

，即，B错误；

，，D错误，

故选：A

二、多选题

9．已知实数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意，由指数函数的单调性即可判断A，令即可判断B，由不等式的性质即可判断CD.

【详解】对于A，因为，由函数在上单调递减可知，，故正确；

对于B，令，满足，则，所以不成立，故错误；

对于C，因为，则，所以，故正确；

对于D，因为，所以，即，

所以，故错误；

故选：AC

10．已知函数，则（    ）

A．的单调递增区间是

B．在处取得极大值

C．在点处的切线方程为

D．若，则函数有两个零点

【答案】BC

【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误；

由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C;

由方程的交点，可判断选项D的正误.

【详解】由题意，，

令，得，

当时，，单调递增；

当时，，取得极大值；

当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确；

在点处的切线斜率，

所以切线方程为：，即，故选项C正确；

当时，,

当时，取得最大值；

当时，,

所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点，

故选项D错误.

故选：BC

11．已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（    ）

A．为偶函数 B．

C．为极大值点 D．

【答案】BCD

【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即，

又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确；

因为且，令，可得，所以B正确；

由时，，可得函数单调递增，

因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确；

由函数关于中心对称，可得，所以，

因为且，可得，

所以，所以函数是以项为周期的周期函数，

可得，所以，

所以，所以D正确.

故选：BCD.

12．设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据条件概率和全概率公式求解.

【详解】对A，,A正确；

对B，根据全概率公式可得，,B错误；

对C，,C正确；

对D，,

,D正确；

故选:ACD.

三、填空题

13．已知随机变量X服从正态分布，且，则      ．

【答案】0.68

【分析】根据正态分布的对称性即可.

【详解】随机变量X服从正态分布，

，

.

故答案为：0.68

14．有3台机床加工统一型号的零件，加工的次品率分别为0.1，0.2，0.15，加工出来的零件混放在一起，3台机床加工的零件分别占总数的45%，25%，30%，则任取一个零件为次品的概率为      .

【答案】0.14

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】记零件为三个机床加工的事件分别为，零件为次品的事件为，

则，，

所以

.

故答案为：0.14.

15．已知集合，，若，则m的取值范围是      ．

【答案】

【分析】因式分解求二次不等式可得，再根据二次函数的值域可得，进而根据求解即可.

【详解】，，又，则，即.

故答案为：

16．过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围.

【详解】当时，

，，

当时，

，，且，

设两切点横坐标分别为，，且，

因切线相互垂直，故，故，

故两切点分别为，，

切线方程分别为：，，

即，，

由题意为两切线的交点，

故，，

所以，

得

由得，即，

故

因，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围.

四、解答题

17．近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为．

(1)预测当A指标数为52时，B指标数的估计值．

(2)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）．

附：参考数据：．

相关系数．

【答案】(1)B指标数的估计值为103

(2)0.88，y与x具有较强的线性相关关系

【分析】（1）把代入求解即可；

（2）由求得，再根据相关系数公式即可求解，从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系.

【详解】（1）当时，，

当A指标数为52时，B指标数的估计值为103.

（2）因为，所以，

所以相关系数，

因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系.

18．已知函数在处有极值．

(1)求的极值；

(2)若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)

【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；

（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.

【详解】（1）

由条件知，得

所以随x变化情况如下表：

所以函数的极大值为，极小值为.

（2）因为，

所以函数在区间上有三个零点，只需,

所以.

19．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表：

(1)请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？

附：，其中n＝a＋b＋c＋d.

临界值表：

(2)从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)表格见解析，疗法与疗效有关联

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题干数据完善列联表，计算与临界值比较得出结论；

（2）分层抽样可知治愈的人数为，未治愈的人数为，确定随机变量的X的所以取值，再求出对应的概率，即可写出分布列，代入数学期望公式求解即可.

【详解】（1）列联表补充完整如下：

零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法没有差异；

根据列联表中的数据，经计算得到：

，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为疗法与疗效有关联，

此推断犯错误的概率不大于0.01；

（2）按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，

其中治愈的人数为，未治愈的人数为，

X的可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

所以X的分布列为：

.

20．已知函数．

(1)若在上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数在上存在零点，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，求导列出不等式，即可得到结果；

（2）根据题意，分,,与讨论，即可得到结果.

【详解】（1）由题得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，因为，所以.

（2）因为，则，注意到：，，

若，则，所以在上单调递增，

所以，在上不存在零点，

若，则，所以在上单调递减，

所以，在上不存在零点，

若，显然，在上不存在零点，

若，显然存在，使得，且在上单调递增，

注意到：，，

所以在上小于零，在上大于零，

所以在上单调递减，在上单调递增，

注意到：，，且，所以存在唯一使得，

综上，所以.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，难度较难，解答本题的关键在于，，然后分的范围进行讨论，即可得到结果.

21．某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对P（0＜P＜1）赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为P，亮起红灯的概率为1－P，随后若第n次亮起的是绿灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，若第n次亮起的是红灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．

(1)若输入，该玩具启动后，记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X，求X的分布列与期望；

(2)在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

【答案】(1)分布列见解析，期望为

(2)5次

【分析】（1）根据题意直接列出随机变量X的分布列，进而求出期望；

（2）设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，然后根据数列知识构造等比数列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，从而得解.

【详解】（1）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，

；

；

；

；

所以X的分布列为：

所以，.

（2）设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，

所以，

所以是公比为，首项为的等比数列，

所以，即，

由得n为奇数且n＞9，

又因为n≤20，所以n＝11，13，15，17，19，

所以在前20次亮灯中，最多唱5次歌.

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，证明：当时，．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（2）要证，只需证，而，所以换元后构造函数，然后利用导数求其最大值小于等于即可.

【详解】（1）由，得

①时，，当，当，

所以增区间为，减区间为，

②时，得，

若，即时，恒成立，所以为R上的增函数

若，即时，由，得或，由，得，

所以增区间为，，减区间为

若，即时，由得或，由得，

所以增区间为，，减区间为

综上得：时，增区间为，减区间为；

时，增区间为；

时，增区间为，，减区间为；

时，增区间为，，减区间为.

（2）时，要证，

即证，即证

因为

令，（），

由，得，由，得，

所以在递增，递减，

所以最大值为，

所以，得证

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化成证，令，只要证，再构造函数，利用导数求其最大值小于等于即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.