2022-2023学年山东省菏泽市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省菏泽市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．有一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，不同的选法种数是（    ）

A．9 B．24 C．84 D．288

【答案】B

【分析】根据题意，依次分析三个小题的选法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案．

【详解】由题，在一次考试的选做题部分可分三步，

则.

故选:B.

2．如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】C

【分析】根据函数图象中的数据求出切线的方程，从而可求出点的纵坐标，则可得，求出直线的斜率可得的值，从而可得答案.

【详解】由图象可得切线过点，所以切线的方程为，即，

所以切线的斜率为，所以

因为点在切线上，所以，所以，

所以，

故选：C

3．有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据全概率公式计算可得.

【详解】设事件表示从第箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，

则

，

即取出的零件是次品的概率为.

故选：C.

4．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C．水果的质量服从的正态分布的参数

D．甲类水果的平均质量

【答案】D

【分析】根据正态分布的曲线特征可判断出的值以及的大小关系，结合曲线表示的含义，一一判断各选项，即可得答案.

【详解】由图象可知甲类水果的平均质量为，D正确，

乙类水果的平均质量为，

故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误；

由于甲曲线比乙曲线更“高瘦”，故

故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B，C错误；

故选：D

5．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．

【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，

图1和图3是正相关，相关系数大于0，

图2和图4是负相关，相关系数小于0，

图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于，

由此可得．

故选:A.

6．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：

甲产业收益分布列

乙产业收益分布列

则下列说法正确的是（    ）

A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小

C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高

【答案】A

【分析】分别计算出甲、乙产业的期望和方差，比较大小，即可判断答案.

【详解】由题意可得，

；

，

，

故,

即甲产业收益的期望大，风险高，

故选：A

7．已知函数（），则下列结论正确的是（    ）

A．函数一定有极值

B．当时，函数在上为增函数

C．当时，函数的极小值为

D．当时，函数的极小值的最大值大于0

【答案】C

【分析】求出函数的导数，举反例可判断A；根据导数与函数单调性的关系可判断B；求得函数极值判断C；根据函数极小值的表达式构造函数，利用导数求得其最小值判断D.

【详解】由得，

当时，，在上单调递减，无极值，A错误；

当时，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，B错误；

由B的分析可知，时，函数取极小值，极小值为，C正确；

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递增减，

故，即当时，函数的极小值的最大值小于等于0，D错误；

故选：C

8．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（    ）

A．288 B．336 C．576 D．1680

【答案】B

【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,

第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，

根据分步计数原理,共有种,

故选：B

二、多选题

9．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：

附表：

经计算得到，下列对地区A天气的判断正确的是（    ）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为

C．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关

D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨

【答案】ABC

【分析】根据古典概型的概率公式判断A、B，根据独立性检验的思想判断C、D；

【详解】解：用频率估计概率可得，夜晩下雨的概率约为，所以A正确；

未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为，所以B正确；

由，可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”

与“当晚是否下雨”有关，所以C正确，D错误．

故选：ABC．

10．在的展开式中，下列结论正确的有（    ）

A．二项式系数的和为 B．各项系数的和为

C．奇数项系数的和为 D．二项式系数最大的项为

【答案】ACD

【分析】设，利用赋值法判断B、C，根据二项式系数的特征判断A、D.

【详解】设，

在的展开式中，二项式系数的和为，故A正确；

令可得各项系数的和为，故B错误；

令，得到①，

令，（或，），

得②，

①②得，

奇数项的系数和为，故C正确；

二项式展开式的通项为（且），

展开式中一共项，故展开式二项式系数最大的项为第项，

即，故D正确；

故选：ACD

11．已知函数的导函数的图象如图所示.则下列结论正确的有（    ）

A． B．函数在上是减函数

C．函数在上无极值 D．函数在上有极值

【答案】ACD

【分析】根据导函数的图像判断函数的单调性，即可判断A，B；结合极值点以及极值的概念可判断C，D.

【详解】由函数的导函数的图象可知，

当时，，即在上单调递减，故，A正确；

当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

故函数在上不是减函数，B错误；

当时，，在上单调递增，

故函数在上无极值，C正确；

当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

故为函数的极小值点，即函数在上有极值，D正确，

故选：ACD

12．对于1，2，…，，的全部排列，定义Euler数（其中，）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有处，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】按的定义计算，判断A，B；根据的定义，理解其含义判断C；举反例判断D.

【详解】对于A，将全部排列，恰有3次升高的排列为，

故，A错误；

对于B，将全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑：

1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高；

2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高；

3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高；

4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高；

故，B正确；

对于C，将全部排列，共有处相邻两数满足或，

故如果其中有k处升高，则其余处必为，

将有k处升高的排列倒序排列，则得到的新排列显然有处升高，且两者排列的个数一样，

反之亦然，

所以有k处升高的排列个数等于有处升高的排列个数，

故，C正确；

对于D，不妨取，则，

而，，则，即，

故，D错误；

故选：BC

【点睛】关键点睛：本题是给出新的定义，要求按照其定义解决问题，关键是要理解新定义的含义，并按照其含义去解答.

三、填空题

13．根据下面的数据：

求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为      .

【答案】0.105/

【分析】分别计算出四个数据的估计值，即可求得残差，继而求得残差的平均数，根据方差公式即可求得答案.

【详解】根据，分别将代入求得分别为：，

则4个残差为，残差的平均数为0，

故残差的方差为，

故答案为：0.105

14．展开式中含项的系数为           .

【答案】

【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可.

【详解】对于，其展开式的通式为，

则展开式中含项的系数为

故答案为：.

15．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学不排在下午，体育不排在上午第一、二节和下午第一节，艺术不排在上午，不同排法种数为      （用数字作答）.

【答案】96

【分析】可分体育排在下午和上午两类情况，结合特殊元素优先法进行排列计算即可．

【详解】可分体育排在下午和上午两类情况：

①若体育排在上午：先排体育，有2种方法，后排数学，有3种方法，再排艺术，有2种方法，最后再排其它3科，有种方法,

故体育排在上午的不同排法种数为；

②若体育排在下午：先排体育，有1种方法，后排艺术，有1种方法，最后再排其它4科，有种方法,

故体育排在下午的不同排法种数为；

故不同排法种数为.

故答案为: 96.

16．已知函数（）有唯一零点，则      .

【答案】/

【分析】根据题意，由即可得到，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，，

即，

构造函数，其中，

则，所以在上单调递增，

由可得，，所以，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

(1)求的导数；

(2)求的图象在处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据简单复合函数的运算法则及导数的运算法则计算可得；

（2）首先求出即切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.

【详解】（1）因为，

所以.

（2）由，

所以，

所以在处的切线方程为，即.

18．已知随机变量的分布列为：

(1)若，求、的值；

(2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值.

【答案】(1)，；

(2),.

【分析】（1）由随机变量分布列的性质和联立方程，解出即可；

（2）由事件：,可得，又事件：为偶数,得，再根据条件概率可求得的值.

【详解】（1）由随机变量分布列的性质,

有, 得，即,

又

，

解得,.

（2）由事件：,

得，

又事件：为偶数,得，

所以,解得.

由(1)知,所以.

所以,.

19．电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入（单位：万元）进行统计，得到以下数据：

(1)依据表中给出的数据，用样本相关系数说明营业收入与月份的相关程度；

(2)试用最小二乘法求出营业收入与月份的一元线性回归方程，并预测当时该专营店的营业收入.

（，）

，.以上各式仅供参考）

【答案】(1)，营业收入与月份的相关程度很强

(2)线性回归方程为，当时该专营店的营业收入为万元

【分析】（1）计算出、，、、，代入可得答案；

（2）用最小二乘法求出营业收入与月份的一元线性回归方程，并代入可得答案.

【详解】（1），，

，

，

，

所以，

因为，说明营业收入与月份的相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系；

（2）由（1），，，

所以关于的线性回归方程为，当时该专营店的营业收入为万元.

20．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数的极值；

(3)若函数在上的最小值是，求实数的取值范围.

【答案】(1)增区间为，单调减区间为；

(2)极大值为，极小值为；

(3)

【分析】（1）求出函数的导数，解不等式即可求得函数的单调区间；

（2）根据导数与函数极值的关系，确定函数极值点，代入求值，即可求得答案；

（3）由题意函数在上的最小值是，可确定，解方程求得x的值，根据函数单调性即可答案.

【详解】（1）由得，

令，得或，

令，得，

故的增区间为，单调减区间为；

（2）由（1）可知的极大值为，极小值为；

（3）函数在上的最小值是，故，

由可知是的一个解，

故，解得或，

由于的增区间为，单调减区间为，

故要使得函数在上的最小值是，只需，

即实数的取值范围为.

21．贵州榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，简称“村超”，该活动在榕江县如火如荼的进行中，这项活动大大促进了当地村民参加体育活动的积极性.为了更好的提高全民素质，某镇建议成人每周进行5.5小时至8小时的运动.已知“村”有56%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有65%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有70%的居民每周运动总时间超过8小时，且，，三个村的居民人数之比为5:6:9.

(1)从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率；

(2)假设这三个村每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.

现从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率.

【答案】(1)0.65

(2)0.216

【分析】（1）根据，，三个村的居民人数之比为5:6:9，设，，三个村的居民人数分别为，再根据题意得到，，三个村的超过8小时的居民人数，利用古典概型的概率求解；

（2）由（1）知 ，再由，得到，再利用独立重复试验的概率求解.

【详解】（1）解：因为，，三个村的居民人数之比为5:6:9，

所以设，，三个村的居民人数分别为，

则，，三个村的超过8小时的居民人数分别为，

所以从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率为：

.

（2）由（1）知 ，

又因为，所以，

所以，则，

所以从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率为：

.

22．已知（为自然对数的底数）在处的切线方程为.

(1)求的解析式；

(2)若，时，任意成立，求最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）由任意成立，可构造函数，利用导数判断其单调性，从而将恒成立问题转化为函数最值问题,然后结合解不等式，分类讨论，以及结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）由可得，由题意知，

，则，

故.

（2）令，

则，则为R上单调递增函数，

当时，，故可以取负无穷小，

当时，，故可以取正无穷大，

故存在唯一零点，即为，即①；

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，

结合①可得，

即，解得或，

当时，，

可得；

当时，，

即，该式不可能成立；

故，由于，，故，

故，当且仅当时等号成立，

即最大值为.

【点睛】难点点睛：解决不等式恒成立问题，综合性较强，难度较大，解答时要构造函数将恒成立问题转化为函数的最值问题解决，要能灵活应用导数判断函数单调性，再结合单调性进行求解.