2022-2023学年福建省南平市高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省南平市高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合N，然后利用交集运算求解即可.

【详解】因为，又，

所以.

故选：B.

2．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性和函数的极限即可排除错误选项，最后即可得到答案.

【详解】由题意得，则，则其定义域为，关于原点对称，

且，则其为奇函数，故排除BD选项；

又因为时，；时，，故排除C选项，则A符合题意，

故选：A.

3．“”是“方程无实数解”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根的情况，由判别式即可得，由集合间的关系即可求解.

【详解】方程无实数解,则需满足，解得，

，由于，所以“”是“方程无实数解”的充分不必要条件，

故选：A

4．已知某容器的高度为，现向容器内注入液体，且容器内液体的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义直接求得.

【详解】由，求导得：.

当时，，解得（舍去）.

故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.

故选：D.

5．将5名志愿者随机派往A，B，C三个社区进行宣讲活动，A社区至少派2名志愿者，B，C社区至少各派1名志愿者，则不同的安排方法有（    ）

A．50 B．60 C．80 D．90

【答案】C

【分析】根据派往A，B，C三个社区志愿者的人数分类讨论，即可得出答案．

【详解】若派往A，B，C三个社区志愿者的人数分别为2，2，1，则不同的安排方法有种；

若派往A，B，C三个社区志愿者的人数分别为2，1，2，则不同的安排方法有种；

若派往A，B，C三个社区志愿者的人数分别为3，1，1，则不同的安排方法有种；

综上，不同的安排方法共有种．

故选：C．

6．若，，且，则的最小值是（    ）

A．16 B．9 C．8 D．4

【答案】D

【分析】由，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为，，

所以，

当且仅当时取等号，

因为，所以，

所以的最小值为4.

故选：D.

7．已知函数，在上的导函数存在，且，记，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，利用导数可知在上单调递减，根据对数函数的单调性可得出，从而，由此判断C，D；而A和B无法判断.

【详解】设，则，

所以在上单调递减，

，，则，

所以，即，

所以，故C正确，D错误；

而的符号不确定，则A和B无法判断.

故选：C.

8．在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】帕斯卡分布概率公式列不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

解得，即的最大值为.

故选：C

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关

B．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好

C．样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强

D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点

【答案】BC

【分析】利用成对数据的相关关系、相关系数、残差图的性质及直线回归方程的性质逐项判断即可.

【详解】对于选项A，变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，错误；

对于选项B，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好，正确；

对于选项C，样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强，正确；

对于选项D，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任何一个样本点，错误.

故选：BC

10．若展开式的二项式系数之和为64，则（    ）

A．展开式中项的系数为 B．展开式中二项式系数最大的项为

C．展开式中系数最小的项为 D．展开式中各项系数的和为1

【答案】ABD

【分析】由二项式系数之和为64，求得n＝6，得到展开式的通项，令，可判断A；展开式中二项式系数最大的项为，可判断B；写出展开式的各项，可判断C；利用赋值法，令x＝1，可判断D．

【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，所以，得n＝6，

所以二项式为，则展开式的通项，

令，则，可得展开式中项的系数为，所以A正确；

展开式中二项式系数最大的项为，所以B正确；

展开式的各项依次为：

，

故展开式中系数最小的项为，所以C错误；

令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为，所以D正确．

故选：ABD．

11．设，为一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由条件，结合条件概率性质判断A，由条件结合条件概率公式可求，判断B，结合全概率公式判断C；利用条件概率公式先求，再求，判断D.

【详解】因为，又，所以，A错误；

因为，所以，又，所以，所以，B正确；

因为，所以，

因为，C正确；

因为，，所以，所以，D正确；

故选：BCD.

12．函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是(    )

A．的最大值与的最大值相等 B．

C． D．若，则的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A，利用导数求出最值即可判断；对于B，当时，得，即；，即，两式相加计算即可判断；对于C，当时，单调递减，则，由此求解判断；对于D，求出单调区间，结合已知条件，推出，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最值即可．

【详解】对于A，的定义域为，，由得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

故当时，取最大值，

的定义域为，，由得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

故当时，取最大值，故A正确；

对于B，当时，，从而，即，

当时，，从而，即，

又，

所以，所以，故B正确；

对于C，当时，单调递减，

则，即，

则，即，，故C错误；

对于D，的定义域为，，由得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又；当时，；当时，，

，即，得，

又，

所以，，

令， ，由得’

当时，单调递减；

当时，单调递增，

当时，，

所以的最小值为．

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

三、填空题

13．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有          种排法.

【答案】48

【分析】相邻问题利用捆绑法即可得出答案.

【详解】解：先将2名女生看成一个整体，有种排法，

再将这个整体与三名男生进行排列，有种排法，

再根据分步乘法原理，有.

故答案为：48.

14．已知，且，则      .

参考数据：，，.

【答案】0.84

【分析】根据题意可得，可得，进而由结合正态分布的对称性可得，代入运算求解．

【详解】因为，所以，

所以，

即，

所以.

故答案为：0.84．

15．奇函数的图象关于直线对称，当时，，则      .

【答案】/

【分析】由奇偶性和对称性可得周期，即可求解.

【详解】∵函数为奇函数，∴，

又∵图象关于直线对称，∴，

∴，即，

∴，则函数的周期为,

∴,

故答案为：.

四、双空题

16．设函数，若存在最小值，写出满足条件的a的一个值是      ；的最大值为      .

【答案】     0（答案不唯一，即可）    

【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，a＝0符合条件，a＜0不符合条件，a＞0时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可列出不等式，求解即可．

【详解】，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，当时，取极小值0.

若a＝0时，，，

若a＜0时，当x＜a时，单调递增，当时，，

故没有最小值，不符合题目要求；

若a＞0时，当x＜a时，单调递减，，

当x＞a时，，

由题意①或②，

由①解得，

当时，均单调递增，

则单调递增，，故②无解，

综上可得，的最大值为．

故答案为：0（答案不唯一，即可）；．

五、解答题

17．为全面推进“五育”并举，提升学生的综合素质，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.某学校鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻炼好身体，每天运动1小时，养成爱运动的良好习惯.随机抽查了100名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体育运动时间大于或等于60分钟的记为“达标”，运动时间小于60分钟的记为“不达标”，统计情况如下图：

(1)完成列联表，并运动依据小概率值的独立性检验，能否认为“运动达标”与“性别”有关?

(2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人中至少有1名是女生的概率.

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，认为“运动达标”与“性别”有关联

(2)

【分析】（1）由题意列联表，计算与临界值比较得出结论；

（2）分层抽样可知抽出女生4人，男生2人，根据古典概型求解即可.

【详解】（1）列联表为：

零假设为：“运动达标”与“性别”无关，

根据列联表中的数据，计算得到，

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，

即认为“运动达标”与“性别”有关联.

（2）记从这6人中任选2人进行体育运动指导，选中的2人中至少有1名是女生的事件为A，

由（1）知“运动不达标”的男生、女生分别有12人和24人，按分层抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，

所以，

所以选中的2人中至少有1名是女生的概率为.

18．某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：

方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：

方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.

(1)求随机变量的分布列和数学期望：

(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)应选择方案一，理由见解析

【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；

（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论；

法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论.

【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，

，，.

.

（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.

，，

，，.

，

因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；

法二：的值可能为、、、，

，，

，，

则，

，

因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.

19．已知在处取得极小值.

(1)求的值；

(2)若曲线在点处的切线与在处的切线平行，求的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用处的导数值为0，可得或，进而代入检验即可.

（2）根据斜率相等，即可设切点代入求解.

【详解】（1），

因为在处取得极小值，所以由，解得或，

当时，，，

令，可得或；令，可得，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极大值，不符题意，应舍去；

当时，，，

令，可得或，令，可得，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极小值，符合题意.

综上，.

（2）设，因为在点处的切线与在处的切线平行，

∴，

即，解得，（舍去），

又，∴

∴在处的切线方程为：，即.

20．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数（其中10场为一个周期）与产品销售额（千元）的数据统计如下：

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：

其中，

(1)请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到）；

(2)①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？

(3)由①所得的结论，计算该直播间欲使产品销售额达到8万元以上，直播周期数至少为多少？（最终答案精确到1）

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指数：．

【答案】(1)

(2)乙建立的回归模型拟合效果更好

(3)10

【分析】（1）取对数，把非线性方程转化为线性方程，利用公式求解系数可得答案；

（2）根据公式求解相关指数，比较两个方程的相关指数的大小可得结论；

（3）利用乙的方程进行预测，求解不等式可得结果.

【详解】（1）将两边取对数得，令，则;

∵，∴根据最小二乘估计可知，;

∴，

∴回归方程为，

即．

（2）①甲建立的回归模型的．

∴乙建立的回归模型拟合效果更好．

（3）由①知，乙建立的回归模型拟合效果更好．

设，解得，∴直播周期数至少为10.

21．专家组对某学校青年教师信息技术应用能力考㤥评估，评估方案为在45周岁以下的青年教师中随机抽3人进行测评，2人以上（含2人）测评合格，则学校通过信息技术应用能力评估.已知该学校45周岁以下的青年教师有10人，其中信息技术能手有1人，信息技术能手通过测评的概率为，其它老师通过测评的概率.

(1)求恰有两位老师通过测评的概率；

(2)在学校通过信息技术应用能力评估的条件下，求信息技术能手被抽到的被率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设“信息技术能手被抽中”，“恰有个老师通过测评”，根据全概率公式计算即可；

（2）设“学校通过信息技术应用能力评估”，求得，然后由条件概率公式计算即可.

【详解】（1）设“信息技术能手被抽中”，“恰有个老师通过测评”，

则，.

，

即恰有两位老师通过测评的概率为.

（2）.

设“学校通过信息技术应用能力评估”.

.

，

即在学校通过信息技术应用能力评估的条件下，信息技术能手被抽到的概率为.

22．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数，若恒成立，求的最大值；

(3)已知，证明：.

【答案】(1)递减区间为，递增区间为

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求导函数，解导数不等式既得单调区间；

（2）利用导数研究含的单调性，找到函数的极值点，从而得到最小值，然后利用导数研究最值函数的范围即可求解；

（3）由（1）可得，变形得.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明.

【详解】（1）因为，所以，

当，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以单调递减区间为，单调递增为；

（2），则，

所以，所以在上单调递增，

又，，

故存在唯一的实数，使得即成立.

故时；时.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

其中，令，，

因为，，

所以在上单调递减，所以即，

故，故所求的最大值为

（3）由（1）可得，则，

可得，即，即，

令，所以，所以，即，

所以，，

令，则，且不恒为零，

所以，函数在上单调递增，故，则，

所以，，

所以

.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；

（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.