2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题含答案

2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为，所以，

则.

故选：A

2．投掷一个骰子，记事件，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，，，则，

所以.

故选：D

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】利用导数判断函数的极值和单调性即可求解.

【详解】因为，所以，

令，所以该函数在，

当时，，函数为增函数；

当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数；

当时，，函数为减函数；

故函数有两个极大值，一个极小值，所以答案为D.

故选：D

4．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.

【详解】在平行六面体中，M为与的交点，

.

故选：B

5．已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，取中点，连接，可得为异面直线与所成的角，再结合余弦定理，即可得到结果.

【详解】  

取中点，连接，

在直三棱柱中，，

因为分别为，的中点，

所以，，即四边形为平行四边形，

所以，为异面直线与所成的角，

因为，，

所以，，，

在直三棱柱中，，所以，

，在中，由余弦定理可得，

.

故选：B

6．已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用全概率公式计算可得.

【详解】记为从甲盒子中取出一个红球，为从甲盒子中取出一个红球，为从乙盒子中取出一个红球，

所以，，，，

所以.

故选：C

7．，，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】注意到常见的导数构造的形式：导数的结果，结合题干条件，可联想到构造：，结合，然后可求出表达式.

【详解】设，则，根据题干条件，，

即，故，为常数，

即，于是，整理可得，

令，整理可得，解得.

故选：D

8．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造且，利用导数研究单调性判断大小，构造且，应用导数研究函数符号得，将代入判断大小，即可得答案.

【详解】由，，令且，

则，故上，此时单调递增，故，

所以，

令且，则，即此时单调递增，

所以，则，

令得：，故，则，

综上．

故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数和，通过导数得到其单调性，再利用其单调性比较大小.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心

C．在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大

D．利用独立性检验推断“与是否有关”，根据数据算得，已知，，则有超过的把握认为与无关

【答案】AB

【分析】根据相关系数的概念判断A，根据回归直线方程的性质判断B，根据独立性检验的思想判断C、D.

【详解】对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；

对于B：运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故B正确；

对于C：在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，故C错误；

对于D：因为，所以有超过的把握认为与有关，故D错误；

故选：AB

10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可．

【详解】已知，函数定义域为，

可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值，

若函数在区间内有最小值，

此时，解得，

当，即时，

整理得，解得或，

所以，

综上，满足条件的取值范围为，．

故选：CD．

11．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．函数的单调减区间为，

C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【分析】先根据分式型函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D.

【详解】当时，，在单调递减，且渐近线为和，

当时，，，

则在单调递增，在单调递减，

且，时，当时，，

作出图像如下图所示，

对于A，函数的值域为，故A正确；

对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；

对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，

则或共有3个不相等的实数根，

又因为解得或，所以与有1个公共点，

所以或，故C错误.

对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，

即或有6个不相等的实数根，

又因为解得或，所以与有4个公共点，

作出图像如下图所示，

显然实数a的取值范围是，故D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12．在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．当线段MN取最小值时，

D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为

【答案】BCD

【分析】对A：根据平面向量结合异面直线夹角分析运算；对B：根据空间向量分析可得点M在线段上（包括端点），进而结合线面垂直分析证明；对于C：根据圆的性质结合对称性以及向量的线性运算求解；对D：根据题意结合体对角线的性质分析求解.

【详解】因为点N满足，其中，，

则点N在正方形内（包括边界），

又因为∥，则异面直线BN与所成角即为，

可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，

所以A错误；

因为

且，所以点M在线段上（包括端点），

因为平面，平面，则，

又因为为正方形，则，

，平面，所以平面，

且平面，所以，所以B正确；

因为，当且仅当三点共线时，等号成立，

又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，

结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，

则，所以，

即，所以，故C正确；

当时，则，即与重合，

与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，

因为平面，且平面，所以，

同理可证：，

且，平面，所以平面，

而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，

所以截面面积的最大值为，故D正确．

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：根据向量的相关知识分析可得点的位置，并结合空间中的位置关系运算求解.

三、填空题

13．已知空间向量，，若，则        ．

【答案】

【分析】由于可得，利用空间向量数量积得运算公式构建方程求解即可.

【详解】空间向量，，且

即

故答案为：.

14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为        ．

【答案】

【分析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据贝叶斯概率公式求解即可.

【详解】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，

根据题意得，，，

则.

故答案为：.

15．在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为        ．

【答案】

【分析】以为空间直角坐标系的原点建系，设，根据可得的轨迹，进而可得的最小值.

【详解】以为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，设.

则，故，，

由可得，解得，

故的轨迹是线段，则的最小值为到线段的距离.

故答案为：

16．函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为        ．

【答案】

【分析】法一：参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；

法二：依题意可得，结合，即可得到，再分、两种情况讨论，即可得解.

【详解】法一：依题意：在上恒成立，

设，，则，

令，，则在上单调递增，

又，，所以使，

当时，在单调递减，

当时，在单调递增，

所以，由得，，

设，，则，，

所以在上单调递增，所以，即，，

故，所以，

解得，即实数的取值范围为；

法二：，

令，则，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

即，当且仅当时取“”，令，，

即，，

当，即时，，此时不等式恒成立；

当，即时，设，在上单调递增，，，，使，

即，

所以与恒成立矛盾，故舍去，

综上可得．

故答案为：

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

四、解答题

17．已知函数.

(1)若，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.

【答案】(1)

(2)的单调递增区间为，，的单调递减区间为

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数判断函数的单调性可得答案.

【详解】（1）因为所以，

所以，所以，

又，

所以曲线在点处的切线方程为：；

（2）由函数在处取得极值可知：

，即，解得：，

此时，，，

当，时，，

当时，，

所以符合题意.

综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．

(1)求证：平面PAD；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，取中点，连接，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到证明；

（2）根据题意，以点为原点建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

【详解】（1）  

如图所示，取中点，连接．

因为分别为的中点，所以，且．

又由已知，可得且，

所以四边形为平行四边形，

所以

又因为平面，平面．

所以平面．

（2）  

如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则．

由为棱的中点，得．

向量，．

设为平面的法向量，

则．

不妨令，得，即为平面的一个法向量．

又向量，

设直线与平面所成角为，

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．

(1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；

(2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进人复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．

附：若，则，，；．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性即可求解；（2）根据二项分布即可求解.

【详解】（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：

，

又由，，

．

（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，

．

的概率分布列为

的数学期望为．

20．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．

(1)求证：；

(2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）由,E是的中点可得结合平面平面可证平面，继而可证

（2）先设再由的大小为利用空间向量得方法构建的方程来求解, 可得.

【详解】（1）,E是的中点，

又平面平面，

平面平面，

且平面．

平面．

又平面，

．

（2）在直三棱柱中，平面．

又平面，

．

又，

平面且，

平面．

又平面

平面．平面，

、

从而可得两两垂直．

所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

的面积为，且矩形中

可得解得．

则，

．

设，

．

又，

设平面的法向量，

则，

不妨取，则，

∴，

由（1）平面，∴平面的一个法向量，

 ．

解得,又可知

又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，

综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为．

21．三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．

表中，．

(1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．

(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．

附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）

(2)或

【分析】（1）根据散点图即可判断，然后通过两边取对数，把非线性回归转化为线性回归，用最小二乘法求解回归直线方程，再求出其回归方程即可；

（2）根据超几何分布即可求解.

【详解】（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型．

（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，

令．则由题意知，

又，

所以，

所以，所以，

，，

则关于的回归方程为．

（2）依题意服从超几何分布，

当时，，

当时，，记，

则，

由解得，

所以当时，

当时，

当时，

故当或时最大，所以的估计值为．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)已知，且是的两个零点，，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；

（2）根据是的两个零点可得，再将所证不等式转化为，进而令，再构造函数求导分析单调性证明即可.

【详解】（1），

①若，则，即在单调递减，

②若，令，有，令，有，

即在单调递减，在单调递增，

综上：，在单调递减，

若，在单调递减，在单调递增．

（2），

令得：，

因为，，因为是的两个零点，

所以，，

所以，

，

要证明，

只需证，

即证明

变形为，令，

则证明，

设，，在单调递增，

所以，即，

设，，在单调递减，

所以，，即，，

综上：．