2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的定义域求集合B，再结合交集运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：D.

2．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，都有”的否定是“，使得”

B．函数的零点所在的一个区间是

C．若不等式的解集为，则

D．“”是“”的充要条件

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断A，根据零点存在性定理可判断B，根据一元二次不等式与一元二次方程根的关系即可判断C，根据分式不等式的解即可判断D.

【详解】对于A, 命题“，都有”的否定是“，使得”,故A错误，

对于B，由于和均为单调递增函数，故单调递增，，由零点存在性定理可得在上有唯一的零点，故B正确，

对于C，若不等式的解集为，则是方程的两个根，所以，故C错误，

对于D，由可得，故或，故能得到，但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故D错误，

故选：B

3．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有（    ）种分配方式.

A．35 B．50 C．60 D．70

【答案】B

【分析】分类讨论志愿者的人数分配情况，结合组合数运算求解.

【详解】由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和，

则相应的分配方式分别有种和种，

所以不同的分配方式共有种.

故选：B.

4．已知函数，则（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称

C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点

【答案】A

【分析】画出的图象，数形结合得到ABD选项，不妨设，从而得到，计算出.

【详解】，

画出的图象如下，

A选项，函数在区间上单调递减，A正确；

B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；

C选项，若，但，不妨设，

则，即，

由于在上单调递增，

故，即，C错误；

D选项，由图象可知，函数有且仅有一个零点，D错误.

故选：A

5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中不放回地任取3个，那么最多有1个是二等品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分有1个是二等品和3个均为一等品两种情况进行求解，相加后得到答案.

【详解】当有1个是二等品时，概率为，

当3个均为一等品时，概率为，

故最多有1个是二等品的概率为.

故选：D

6．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件概率求解即可.

【详解】记小明迟到为事件B，小明自驾迟到为事件A，

则，

所以.

故选:B.

7．已知随机变量，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】先求得，然后求得，进而求得.

【详解】依题意，，

解得，所以，所以

.

故选：A

8．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两角和的正切公式结合基本不等式运算求解.

【详解】因为，则，

可得，即，

且，整理得，

又因为，当且仅当时，等号成立，

即，

整理得，

解得或（舍去），

所以的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．下面结论正确的有（    ）

A．若，且，则 B．若，且，则有最小值

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】对于AB，利用基本不等式分析判断即可，对于C，作差法分析判断，对于D，举例判断.

【详解】对于A，因为，且，

所以，

当且仅当，即时取等号，所以A正确，

对于B，因为，且，

所以，即，当且仅当时取等号，

所以有最大值1，所以B错误，

对于C，因为，所以

所以，

所以，所以C正确，

对于D，若，则满足，

而，则，所以D错误，

故选：AC

10．下列表达式中正确的是（    ）

A． B．的二项展开式中项的系数等于15

C． D．

【答案】AB

【分析】根据组合数、排列数、二项式展开式等知识确定正确答案.

【详解】A选项，，所以A选项正确.

B选项，二项式展开式的通项公式为，

令，解得，所以项的系数为，B选项正确.

C选项，，所以C选项错误.

D选项，，所以D选项错误.

故选：AB

11．下列说法正确的有（    ）

A．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1

B．独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率

C．已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为

D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是 和0. 3

【答案】BCD

【分析】对于A，根据相关系数的定义即可；对于B，根据独立性检验的定义即可；对于C，利用残差的计算公式即可；对于D，利用对数的公式，将进行转换即可.

【详解】对于A, 相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错；

对于B，独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，故B正确；

对于C，当时，，残差：，故C正确；

对于D，，，即，

即故D正确.

故选：BCD.

12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．在上为减函数

C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有3个实数解

【答案】CD

【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合判断D作答.

【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，

由为偶函数，得，即，则，

即，于是，函数是周期为的周期函数，

当时，，

对于A，，A错误；

对于B，函数在上单调递增，由，知函数图象关于点对称，

则函数在上单调递增，即有函数在上单调递增，因此在上单调递增，B错误；

对于C，由及，得，即，

因此函数图象关于点对称，C正确；

对于D，当时，，由函数图象关于点对称，

知当时，，则当时，，

由，知函数图象关于直线对称，则当时，，

于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，

方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

观察图象知，函数与图象在上有且只有3个公共点，

而当时，，即函数与图象在无公共点，

所以方程仅有3个实数解，D正确.

故选：CD

【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，

(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.

(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.

三、填空题

13．已知扇形的面积是，半径是，则扇形的圆心角的弧度数是        .

【答案】2

【分析】由扇形的面积公式带入求解.

【详解】由扇形的面积公式：，得，

故答案为：2.

14．我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有         人.

【答案】

【分析】根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数.

【详解】由于正态分布曲线的对称轴为105，故，

由题意可知，

根据对称性可得，

所以数学成绩在分到分之间的学生有，

故答案为：

15．二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为，则x在内的值为               .

【答案】或

【分析】根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

令，可得；

令，可得；

由题意可得：，解得，

所以二项式系数最大的为第5项，则，

且，则，可得，

所以或.

故答案为：或.

16．=           .

【答案】

【分析】先找到，再将原式带入，运算求解即可.

【详解】因为

，

故原式

.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：此题的关键是找到裂项.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求的值；

(2)求的最小正周期和单调递增区间.

【答案】(1)

(2)，单调递增区间是

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算可得；

（2）由正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）

，

即，

所以.

（2）因为，

所以的最小正周期，

令，，解得，

所以的单调递增区间是.

18．计算下列各式的值.

(1)；

(2)若，求的值.

【答案】(1)15

(2)

【分析】（1）利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解，

（2）由求出的值，再由化简计算即可.

【详解】（1）

（2）

因为，

所以，

因为，，

所以，，

则

19．某校高二年级共有学生名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1：

表1

表2

(1)根据表1数据，从600名学生中随机选择一人做代表.

①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；

②在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率.

(2)从600名学生中获取容量为30的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（，）

【答案】(1)①；②

(2)列联表见解析，不能

【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式求解；②根据条件概率公式求解.

（2）计算可得表2；根据公式计算，结合临界值可得结论.

【详解】（1）记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，则与相互独立，

①.

②.

（2）表2整理如下：

零假设：数学成绩与语文成绩无关联，

在犯错误的概率不超过前提下，不能认为数学成绩与语文成绩有关联.

20．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示：

(1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率；

(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.48

(2)分布列见解析，1.2

【分析】（1）先找到每一种口罩被选到的概率，再找到每一种口罩里面绑带式口罩被选到的概率，利用全概率公式求解.

(2)由题，，，即可求解.

【详解】（1）记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，

则，且两两互斥，

由题意：，

记事件为“选到绑带式口罩”，则，

所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为：

. .

（2）由题意知，， ，

，，

，，

故的分布列为：

.

21．某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%.

(1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？

(2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.

【答案】(1)250

(2)

【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数；

（2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围.

【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作，

由题意得：，

即，又，所以.

即最多调出250人参加乙项目工作.

（2）由题知，

乙项目工作的工人创造的年总利润为万元，

甲项目余下工人创造的年总利润为万元，

则，

所以，

即恒成立，

因为，函数在上单调递减，

所以.

又，所以，

22．某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接收益（亿元）的数据统计如下：  

根据表格中的数据，当 时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当 时，确定与满足的线性回归方程为.

(1)根据下列表格中的数据，比较当 时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；

（附：刻画回归效果的相关指数）

(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴亿元，比较根据市场调研科技升级投入亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；

（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：）

(3)科技升级后，芯片的效率大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励元，记为每部芯片获得的奖励额，求（精确到）.  

（附：若随机变量，，.）

【答案】(1)模型②的相关指数大于模型①的相关指数，模型②

(2)技术升级投入亿元时，公司的实际收益更大

(3)

【分析】（1）比较两个模型相关指数的大小，即可得出结论；

（2）计算出当时，关于的回归方程，可求出当时，实际收益的预测值，再与市场调研科技升级投入亿元直接收益比较大小，可得出结论；

（3）根据原则计算出、的值，结合题意可求得的值.

【详解】（1）解：由表格中的数据，，

所以，，则，

则模型②的相关指数大于模型①的相关指数，故回归模型②的拟合效果更好.

（2）解：当时，由已知可得.

，

因为，所以，，解得，

所以当时，与满足的线性回归方程为，

当时，根据市场调研科技升级投入亿元直接收益亿元.

当时，科技升级直接收益的预测值为亿元，

所以实际收益的预测值为亿元，

所以技术升级投入亿元时，公司的实际收益更大.

（3）解：，，

.

.

（元）.