2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题 一、单选题1．若、、成等差数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中项的性质可求得的值.【详解】因为、、成等差数列，则.故选：A.2．函数在处的切线斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.【详解】因为，则，所以，.因此，函数在处的切线斜率为.故选：B.3．已知函数为的导函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案.【详解】由可得，，故选：C4．一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.【详解】由已知条件得由条件概率公式可得.故选：D.5．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）  A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值【答案】A【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.【详解】  由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.6．将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据二项分布的期望公式即可求解.【详解】在一次抛硬币的实验中，正面朝上的概率为，由题意可知服从二项分布，所以，所以，故选：B7．在数列中，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果.【详解】因为，，所以，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A8．若是等差数列的前项和，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据与关系计算求解.【详解】，故选：B.9．数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围【详解】因为数列的通项公式为，且是递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D10．已知函数,则下面对函数的描述正确的是A． B．C． D．【答案】B【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果.【详解】因为，所以，导函数在上是增函数，又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且，即，故，故选B.点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果. 二、填空题11．设函数，则          .【答案】0【分析】由导数的求导法则求解导数，即可代入求解.【详解】,所以，故答案为：0 三、双空题12．已知随机变量的分布列如下，且：01则          ；          .【答案】     /0.5     【分析】由分布列的性质及期望公式解得.【详解】由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，，故答案为：. 四、填空题13．已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则          .【答案】2【分析】依题意可得，再根据通项公式计算可得.【详解】因为，所以，即，所以.故答案为： 五、双空题14．若曲线在处的切线方程为，则          ；          .【答案】          【分析】对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可.【详解】，由于曲线在处的切线方程是，所以，由切点在切线上，切点为， 得所以，得.故答案为：-1,0. 六、填空题15．设随机变量的分布列如下：12345678910给出下列四个结论：①当为等差数列时，；②当为等差数列时，公差；③当数列满足时，；④当数列满足时，时，.其中所有正确结论的序号是          .【答案】①③④【分析】根据题意可得，且,，，2，，10．对①②结合等差数列的性质分析运算；对③根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对④根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．【详解】由题意可得：，且,，，2，，10，对①：当为等差数列时，则，可得，故，①正确；对②：当为等差数列时,由①知，所以，由于,，所以，解得：，故②错误；对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，则，可得,，③正确；对④：当数列满足，2，时，则，可得，,3，时,所以，由于，所以，因此，由于，所以，因此，当也符合，故，④正确．故答案为：①③④【点睛】本题考查了数列的递推公式，根据数列给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式． 七、解答题16．已知等差数列的的前项和为，从条件①､条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：(1)求的通项公式；(2)若是等比数列，，求数列的前项和.①；②；③.【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选择①②，①③，②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d，代入公式即可求得答案；（2）根据题干条件，结合（1）可求得，的值，代入公式，即可求导、q，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案.【详解】（1）选①；②设等差数列的公差为.由题设，得解得.所以.选①；③设等差数列的公差为.由题设，得解得.所以.选②；③由题设，得，，解得.所以.（2）因为是等比数列，且由，得，由，得所以所以.所以17．已知函数.(1)求的极值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)极大值为，极小值为(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值；（2）比较、以及极小值三者的大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）解：因为，所以.令，得或，列表如下：极大值极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.从而的极大值为，极小值为.（2）解：由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18．为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；(2)从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；(3)为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生､5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.【答案】(1)0.4(2)分布列见解析，(3)不能确定是否有，理由见解析 【分析】（1）根据茎叶图中的数据，结合古典概型的概率公式求解；（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生，则的值可能为，然后求出相应的概率即可求出的分布列和期望；（3）由所抽取的成绩是随机的进行判断.【详解】（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，因为90分以上的有4人，所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：的分布列为：1234（3）不能确定是否有.上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.所以，不能确定是否有.19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.【答案】(1)(2)80万件 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可；（2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可.【详解】（1）由题意得，总售价固定为，当产量不足60万箱时，.当产量不小于60万箱时，.则（2）设，当时，，令，得，得在上单调递增，在上单调递减，则；当时，由基本不等式有当且仅当，即时取等号；又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元20．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）法一：由（1）中的结论，当时，举反例；在时，由求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围；法二：由可得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，所以，所以.当时，对任意的恒成立，此时函数的增区间为，无增区间；当时，令，得，极大值所以的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）解：法一：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，且，与恒成立矛盾；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.，令，得，得，即.法二：若对任意，恒成立，即对任意的恒成立，则对任意的恒成立，设，则，其中，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.21．定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.(1)若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；(2)若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.【答案】(1)数列不具有性质(2)(3)所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式（）. 【分析】（1）根据“完全平方数列”的定义分析判断，（2）根据数列的前项和得到，对，和这两种情况进行分析即可， （3）设等差数列的首项为，公差为，得到数列的前项和，此时，，，然后利用换元法求解即可.【详解】（1）不是“完全平方数列”.不是整数的完全平方数.（2）数列的前项和（是正整数），当时，，当时，不满足上式，所以①当，时，，所以数列与原数列相同，所以，所以当时，数列为“完全平方数列”，②当时，，不是完全平方数，所以当时，数列不是“完全平方数列”，综上，当时，数列为“完全平方数列”，（3）因为为完全平方数，故，,若，则，若对任意的，均为完全平方数，则，否则假设为的素因数，且恰好能整除，为正整数，若为奇数，则不是完全平方，矛盾；若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，若，则， 若，取，则或，当为偶数时，此时、均不是完全平方数，故为奇数，取，则，为奇数，故此时不是完全平方数，故即，故，设，故，所以即（）.【点睛】关键点点睛：此题考查数列的新定义，考查等差数列的运算，解题的关键是正确理解“完全平方数列”的定义，考查数学计算能力，属于较难题.