2022-2023学年浙江省嘉兴市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年浙江省嘉兴市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的基本运算进行计算即可.

【详解】解：由，得，

由，得，

所以.

故选：B.

2．设（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法法则进行运算，再利用共轭复数的概念求解.

【详解】因为，

所以复数的共轭复数．

故选：A

3．已知为非零向量，且满足，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用平面向量数量积及投影向量公式计算即可.

【详解】因为，

所以，即：，

所以在上的投影向量为.

故选：D.

4．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.

【详解】因为在上单调递增，

所以由复合函数的单调性可知，，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

5．已知且满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】运用配凑角，代入已知等式中可得，再结合角的范围可求得的值，进而可求得、的值.

【详解】因为，

，

，

所以，

又因为，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以

所以.

所以，

故选：B.

6．设.这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】运用正态分布密度曲线的对称性求解即可.

【详解】对于A项，由图可知，，故A项不成立；

对于B项，由图可知，，，所以，故B项不成立；

对于C项，因为，，，

所以，故C项不成立；

对于D项，由图可知，，所以，故D项正确.

故选：D.

7．某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（    ）

A．336种 B．360种 C．408种 D．480种

【答案】C

【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.

【详解】利用间接法：

第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，

第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，

所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，

故选：C.

8．在三棱锥中，，平面平面，则该三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用面面垂直的性质定理得出平面，分析知当时三棱锥体积最大，令，则体积，换元构造函数，利用导数求得其最值即可.

【详解】因为平面平面，为两平面交线，

取中点，因为，所以，

又平面，所以平面，所以三棱锥的体积，

因为，所以当长度确定时，长度不变，

此时当时面积达到最大，故求出当时三棱锥体积的最大值即可.

当时，令，

则，

则

，

由可得，

令，则，

从而，

当时递增，

当时递减，

所以，

即最大体积为.

故选：B

二、多选题

9．某校一支田径队有男运动员12人，女运动员8人，全队中身高最高为，最低为，则下列说法正确的有（    ）

A．该田径队队员身高数据的极差为

B．用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为

C．按性别用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，则男､女运动员抽取的人数分别为7人与3人

D．若田径队中男､女运动员的平均身高分别为和，则该田径队的运动员总体平均身高为

【答案】ABD

【分析】对于A，身高的最大值减最小值即可；对于B，不放回的简单随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，等于抽取的人数与总体人数的比；对于C，利用分层抽样的方法按比例抽取即可；对于D，根据男女生的比例及平均数公式求得结果.

【详解】对于A，由于全队中身高最高为，最低为，该田径队队员身高数据的极差为，故A正确；

对于B，由已知田径队共有人，用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为，故B正确；

对于C，田径队有男运动员12人，女运动员8人，男女生比例为，若抽取一个容量为10的样本，男､女运动员抽取的人数分别为6人与4人，故C错误；

对于D，若田径队中男､女运动员的平均身高分别为和，男生占，女生占，则该田径队的运动员总体平均身高为，故D正确.

故选：ABD.

10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．在区间上单调递减

D．为偶函数

【答案】AC

【分析】由图列方程组可判断A项，代入点可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令计算可判断D项.

【详解】由图可知，，

，

所以，

所以，

将点代入可得：，，

又因为，

所以，

所以，故A项正确，B项错误；

对于C项，因为，所以，

由图可知，在上单调递减，

即：在上单调递减，故C项正确；

对于D项，因为，

所以，

当时，，

所以不是偶函数，故D项错误.

故选：AC.

11．一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为.则下列结论正确的有（    ）

A．第八次移动后位于原点0的概率为

B．第六次移动后位于4的概率为

C．第一次移动后位于-1且第五次移动后位于1的概率为

D．已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为

【答案】BCD

【分析】运用二项分布可判断A项、B项，运用分步乘法计算可判断C项，运用条件概率公式计算可判断D项.

【详解】对于A项，在8次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则，

若移动8次后，质点位于0的位置，则质点向右移动4次，向左移动4次，

所以第八次移动后位于原点0的概率为，故A项错误；

对于B项，在6次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则，

若移动6次后，质点位于4的位置，则质点向右移动5次，向左移动1次，

所以第八次移动后位于原点0的概率为，故B项正确；

对于C项，记“第一次移动后位于”为事件A，“第五次移动后位于1”为事件B，

由题意知，质点先向左移动1次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，

所以第一次移动后位于且第五次移动后位于1的概率为，故C项正确；

对于D项，记“第二次移动后位于2”为事件M，“第六次移动后位于4”为事件N，

当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时，质点先向右移动2次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，

所以，，

所以已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于1的概率为，故D项正确.

故选：BCD.

12．定义域为的函数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.

【详解】令可得选项正确；

令，则，即，则为上的偶函数；

令，则，即①；

令，则②，由①②得，即；

若，则，与条件不符，故，

此时有，因为，所以，B选项错误；

令，则，即，

所以，从而，故为函数的一个周期，

所以选项正确；

因为，所以，

此时有，则选项正确，

故选：ACD.

三、填空题

13．某学生在对50位同学的身高（单位：）与鞋码（单位：欧码）的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程.若50位同学身高与鞋码的均值分别为，则          .

【答案】

【分析】利用回归方程必过样本中心，代入求解即可.

【详解】因为经验回归方程为，，

所以.

故答案为：.

14．的展开式中的系数为          .（用数字作答）

【答案】80

【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得含的系数．

【详解】的展开式的通项公式为，

令，求得，可得的系数为，

故答案为：80.

15．某校团委组织了一场“承五四精神，谱青春华章”的学生书画比赛，评出一､二､三等奖作品若干，其中二等奖和三等奖作品数量相等，高二年级作品分别占.现从获奖作品中任取一件，记事件“取出一等奖作品”，“取出获奖作品为高二年级”，若，则          .

【答案】

【分析】设出一、二、三等奖作品件数，由可得，进而可求得，结合条件概率公式计算可得结果.

【详解】设一、二、三等奖作品分别有x，y，y件，

所以，解得：，

所以0.46，

所以.

故答案为：.

16．若，则的取值范围为          .

【答案】

【分析】构造函数研究其在上的单调性，运用其单调性可得，解不等式即可.

【详解】原不等式等价于，

令，则不等式等价于，

因为，所以当时，，

所以在上单调递减，

又因为，

所以，即，

即，解得或，

又因为，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．记为数列的前项和，且，已知.

(1)若，求数列的通项公式；

(2)若对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得为公差为的等差数列，求得，利用与的关系求得，再利用累乘法即可得到结果.

（2）利用等差数列前项和公式表示出，即可得出，然后利用裂项相消法求得其前项的和，即可得到结论.

【详解】（1）由题意得为公差为的等差数列，

则，

即，

两式作差得，

即，

所以，

即，，

因为，所以.

（2）由题知，，

所以，

则

，

当时，有，

因为，所以恒成立等价于，从而.

18．如图，在三棱锥中，已知平面，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)若是的中点，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性质可得线面垂直；

（2）几何法和向量法都是先根据线面角求出的长，然后找到二面角的平面角或者利用法向量求解二面角.

【详解】（1）过点作于点，因为平面平面，

平面平面平面，所以平面，

因为平面，所以，又因为平面，所以，

又，平面，所以平面.

（2）几何法：因为平面，所以，

又因为平面，所以为与平面的所成角，

令，则，

则，解得；

因为，且平面平面，

所以为的平面角，.

坐标法：因为平面，所以，则以为轴，为轴建立空间直角坐标系，轴，取，则，;

设平面的法向量为，由可得：；

取，则，

平面的一个法向量为，设与平面所成角为，

则，解得，

此时，则，

设平面与平面的夹角为，则.

19．记的内角的对边分别为.已知.

(1)求角的大小；

(2)若为线段上的一点，且满足，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，利用正弦定理结合辅助角公式可得，从而可得答案；

（2）利用正弦定理求得，可得，从而得，再由三角形面积公式可得答案.

【详解】（1）因为

由正弦定理可得，

因为，所以，

则，即，

因为.

（2）因为，

所以，

，

所以，

.

20．某校学生每一年需要进行一次体测，体测包含肺活量､50米跑､立定跳远等多个项目，现对该校的80位男生的肺活量等级（优秀､良好､合格､不合格）进行统计，得到如下列联表：

(1)能否有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联？

(2)某体测小组由6位男生组成，其中肺活量等级不合格的有1人，良好的有4人，优秀的有1人，肺活量等级分按如下规则计算：不合格记0分，合格记1分，良好记2分，优秀记3分.在该小组中随机选择2位同学，记肺活量等级分之和为，求的分布列和均值.

附：，其中.

【答案】(1)有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算判断即可.

（2）分析出的可能取值为2、3、4、5，分别计算各自概率即可求得结果.

【详解】（1）零假设：认为男生的身高与肺活量的等级划分无关联，

，

所以假设不成立，

所以我们有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联.

（2）由题意知，的可能取值为：2、3、4、5.

，，

，，

则的分布列如下：

所以.

21．已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.

(1)求面积的最大值；

(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）方法1：设出点M的坐标，计算点到直线的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果.

方法2：联立椭圆方程及与平行的直线的方程，令，进而可求得结果.

（2）分别求出交点M、Q、P坐标，计算即可.

【详解】（1）方法1：如图所示，

由题意知，，，，

设，

则，

点到直线的距离为：，

所以，

所以.

故△MBD面积的最大值为：.

方法2：设与平行的直线，

联立得，

令，

显然当时与椭圆的切点与直线的距离最大，

，

所以.

故△MBD面积的最大值为：.

（2）如图所示，

设直线，

联立得，

则点的坐标为，

设点为，则，

所以，即，

所以，

联立得点的坐标为，

所以，，

所以.

故为定值.

【点睛】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．

（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

22．已知函数为自然对数的底数

(1)当时，求函数的最大值；

(2)已知，且满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）运用导数研究的单调性，进而求得其最大值.

（2）同构函数，转化为，结合换元法，分别讨论与，当时运用不等式性质即可证得结果，当时运用极值点偏移即可证得结果.

【详解】（1）当时，，定义域为，

则，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故的最大值为.

（2）由题意知，，

由可得，

所以.

令，

由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，

则，

令，

又，

所以，

则

①若，则，即，所以；

②若，设，且满足，如图所示，

则，

所以，

下证：.

令，

则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，即，

又因为，

所以，

所以，即，

又因为，

所以，即.

由①②可知，得证.

【点睛】极值点偏移问题的方法点睛：

(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．

(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．