2022-2023学年云南省昆明市高二下学期期末质量检测数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明市高二下学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．复平面内，复数所对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的坐标表示和乘法运算可得.

【详解】因为复数所对应的点为，

所以，所以.

故选：C

2．已知集合，集合，若，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】由，得到，分、和，三种情况讨论，即可求解.

【详解】由集合，集合，

因为，可得，

当时，则，此时，此时不满足，舍去；

当时，则，此时，此时满足；

当时，则，此时，此时不满足，舍去，

综上可得，.

故选：D.

3．某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校3000名学生中随机抽取300名学生，并统计这300名学生平均每周的跑步量（简称“周跑量”，单位：周），得到如图所示的频率分布直方图.称周跑量不少于周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这3000名学生中“跑步达人”的人数为（    ）

A．66 B．132 C．660 D．720

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图计算频率，即可求解人数.

【详解】由频率分布直方图可知：周跑量在的频率为，所以3000名学生中“跑步达人”的人数为，

故选：C

4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（    ）

A．1 B．100 C．200 D．300

【答案】B

【分析】根据和的值，求出的值.

【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即，

化简得，所以；

故选:B.

5．如图，圆锥被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为和，高为的圆台，则所得圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的高为，则，解得，

因此圆锥的体积为.

故选：B.

6．已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据中点关系可得轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.

【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴，

，，所以，

由椭圆定义可得，

故选：A

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据结合二倍角的余弦公式计算即可.

【详解】

.

故选：D.

8．已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值.

【详解】关于的不等式恒成立，即，

令，则，

，

当时，，则在上递增，所以无最大值，

当时，令，解得，令，解得，

所以在上递增，在上递减，

所以，

所以，得，

所以，即，

所以当时，，

令，

所以此时取最小值为，

当时，，

综上，的最小值为，

故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数，则只要，利用导数求函数的最大值，考查数学转化思想，属于难题.

二、多选题

9．已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（    ）

A．若与轴垂直，则

B．若点的横坐标为2，则

C．以为直径的圆与轴相切

D．的最小值为2

【答案】ABC

【分析】结合抛物线定义逐个分析判断.

【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，

若与轴垂直，将代入抛物线方程，得，

故，选项A正确；

若点的横坐标为2，由抛物线定义，

，选项B正确；

如图，点C为中点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，

由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，

设以为直径的圆半径为，

则，

又由梯形中位线得，，

所以以为直径的圆与轴相切，选项C正确；

设点，

则，

当时，的值最小，为1,选项D错误.

故选：ABC

10．已知直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，，，则下列结论正确的是（    ）

A．球的表面积为

B．到直线的距离为

C．到平面的距离为

D．到平面的距离为

【答案】ABC

【分析】对于A，求得球的半径，即可求解球的表面积，从而可判断；对于B，过点作于点，则为到直线的距离，求解，即可判断；对于C，先证明平面，从而可知到平面的距离等P到平面的距离，过P作垂足为H，证明平面，从而可知为P到平面的距离，求解即可判断；对于D，与C中解析同理即可判断.

【详解】  

如图，设的外心分别为，连接.

在直棱柱中，平面，

直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，

为的中点，，

在中, ，

由正弦定理得 ，，

在中，，

球的半径.

对于A，球表面积，A正确；

对于B，过点作于点，则为到直线的距离.

在直三棱柱中，平面，

平面，，，

所以四边形是矩形，，B正确；

对于C，平面，平面，.

又平面平面，平面，

到平面的距离等P到平面的距离，

过P作垂足为H，

平面，平面，，

又平面，

平面为P到平面的距离，

连接，

由为外心，得， 为等腰三角形，

为的中点 ，

在中, .

到平面的距离为正确；

 对于D，与C中解析同理，过点作于点，

则为到平面的距离，也是O到平面的距离.

在中，，当时，，

但根据题中条件，无法得出，D错误.

故选：ABC

11．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.从甲口袋中取出的球是红球､白球分别为事件，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，B；根据条件概率的计算公式判断C；根据全概率公式判断D.

【详解】对于A，由于甲口袋中装有3个红球，1个白球，故，正确；

对于B，先从甲口袋中取出1个白球放入乙口袋，此时乙口袋有2个白球和2个红球，

故，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，

，D正确，

故选：AD

12．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质，利用赋值法，逐项判定，即可求解.

【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称，

即，即，

又因为为偶函数，所以，即函数关于对称，

则，所以，即，

所以，所以是周期为4的周期函数，

令 ，由，可得，可得，所以A错误；

因为时，，所以，可得，

即当时，，则，所以B正确；

因为，，

所以一个周期内的和为，

则，所以C正确；

由

，

所以D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．若向量，满足：，，，则        .

【答案】

【分析】结合已知条件，对，两式分别平方并求出，进而求出.

【详解】因为，，

所以，，

从而由两式相减可得，，即，

故，

因为，

所以.

故答案为：.

14．已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的一个可能的值为          .

【答案】（写出中的任意一个实数即可）

【分析】由直线与圆相交的相关知识求出的取值范围，再由平面向量的数量积的定义直接计算即可．

【详解】圆，圆心为，半径，

则，所以点在圆内，依题意可知，

当定点为的中点时，、的夹角最小，

此时，，，

，，，

即、的夹角最小值为，

当相线段是圆的一条直径时，、的夹角最大，最大为，

，

．

故答案为：（写出中的任意一个实数即可）．

15．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄（都为整数）依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为          岁.

【答案】94

【分析】设年纪最小者年龄为，年纪最大者年龄为，公差为，求得与，根据的取值范围，求出，可得，再代入可得的值．

【详解】根据题意可知这32个人年龄之和为1520，

设年纪最小者年龄为，年纪最大者年龄为，

则，

设等差数列的首项为，公差为，则,

则,

因为，则，

解得，所以，，

则

故答案为：94．

16．已知函数是图象的一条对称轴，在区间上单调，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围为          .

【答案】

【分析】由是图象的一条对称轴，可得，再由在区间上单调，可得，从而可求得，则，由，得，再根据题意列不等式组求解即可.

【详解】因为函数是图象的一条对称轴，

所以，得，

由，得，

因为在区间上单调，所以，得，

所以，所以，

由，得，

因为在区间上有且仅有2个极值点，

所以，或，或，

解得，

即的取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．已知数列的首项为1，记其前项和为.

(1)求；

(2)设，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的关系，作差即可判断为常数列，进而可求解，

（2）由等比数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）由已知得，所以，

两式相减得，所以，

故数列为常数列，则，

所以.

（2）因为，所以，则

.

18．的内角所对的边长分别为.

(1)求；

(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理即可求解；

（2）等面积法可得，由可得，再结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得，即，

由余弦定理得，

因为，所以.

（2）由已知得，即，

由（1）知，

因此，而，则，

于是，故，当且仅当时取等号，

所以面积的最小值为.

19．如图，三棱柱中，是的中点，平面.

(1)求证：；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直判定定理先证平面，然后由线面垂直的性质可得；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，

又，平面，

所以平面，

又平面，所以.

（2）由（1）知两两垂直，

建立空间直角坐标系如图所示，

不妨设，则，则，

所以，

可得，

设平面的法向量为，

由得取，得，

又，

设平面的法向量为，

由得取，得

所以，

所以，平面与平面夹角的余弦值为.

20．已知函数在处取得极值0.

(1)求；

(2)若过点存在三条直线与曲线相切，求买数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，即可得解；

（2）切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，从而可得，再根据过点存在3条直线与曲线相切，等价于关于的方程有三个不同的根，利用导数求出函数的单调区间及极值，即可得解.

【详解】（1）由题意知，

因为函数在处取得极值0，

所以，解得，

经检验，符合题意，所以；

（2）由（1）可知，函数，所以，

设切点坐标为，

所以切线方程为，因为切线过点，

所以，即，

令，则，

令，解得，或，

当变化时，的变化情况如下表所示，

因此，当时，有极小值，

当时，有极大值，

过点存在3条直线与曲线相切，

等价于关于的方程有三个不同的根，则，

所以实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

21．已知双曲线：过点，一条渐近线方程为.

(1)求的方程；

(2)过的右焦点的直线与的右支交于两点，，若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点的坐标即可求解，

（2）根据两点距离公式可得，进而得，联立直线与双曲线方程可得，即可求解.

【详解】（1）因为的一条渐近线方程为，设，

因为过点，所以，

故的方程为.

（2）设，由题知，

故，又

所以.

所以是方程的两根，所以，

设，

联立得，

，所以，故，所以，

此时，直线的斜率的绝对值为，大于渐近线斜率的绝对值，满足题设，

所以直线的方程为或.

22．某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；

(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知随机变量，然后利用二项分布的概率公式求解；

（2）设事件，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出，令，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的，代入中可求得.

【详解】（1）由题知随机变量，所以.

（2）设事件，由题图可知，

则，

即.

设，则，

所以当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

所以当时，取得最大值，即取得最大值，

所以，即，

解得或，

因为，所以.

【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.