2022-2023学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面复数所对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】因为,所以,所以复平面复数所对应的点在第一象限,故选:A.2．已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】由，知，因为，，若，则方程无解，所以；若，，则，因为，所以，则；故实数取值集合为.故选：D.3．小明所在高校开设了篮球､足球､太极拳等12门体育选修课，每名学生需在大一和大二年级分别选择不重复的一门选修课学习，则小明的体育选修课不同的选择有（    ）A．66种 B．96种 C．132种 D．144种【答案】C【分析】直接用排列的定义列式计算即可.【详解】不同的选择有种．故选：C．4．已知函数是奇函数，则（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，经验证，，故.故选：B.5．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，  则的周长为，故选：C.6．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（    ）A．（，+∞） B．（－∞，）C．[，+∞） D．（－∞，]【答案】C【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.【详解】函数不存在极值点,s由函数求导得：，因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，因此有，恒成立，于是得，解得，所以实数m的取值范围是.故选：C.7．若，且，则（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可求得的值.【详解】因为，则，因为，则，所以，.故选：D.8．已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（    ）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，，所以.故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（　　）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18【答案】AD【分析】利用简单随机抽样的意义判断A；求出众数、中位数判断B；求出第70百分位数判断C；利用分层抽样的意义求出样本容量判断D作答.【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A正确；对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B错误；对于，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，由于%，因此给定数据的第70百分位数是23，C错误；对于D，令样本容量为，依题意，，解得，D正确.故选：AD10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.   11．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（    ）A． B．的周长为16C．的面积为 D．【答案】AB【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，整理可得．，解得或（舍去负值），所以，代入可得，．设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；对于C项，易知，故C项错误；对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．故选：AB  12．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】AD【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.故选：AD. 三、填空题13．已知，，向量，的夹角为，则      ．【答案】【分析】利用数量积的定义及运算律即可得解.【详解】因为，，向量，的夹角为，所以.故答案为：14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为      ．【答案】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.  15．以抛物线上的动点为圆心，半径为2的圆与直线相交于两个不同的点，则线段长度的最大值为   .【答案】【分析】先求得点到直线的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段长度的最大值.【详解】设点，则点到直线的距离，故当时，d取到最小值为，此时有最大值.故答案为：16．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若，且，则的值为      .【答案】【分析】计算，，计算得到，，得到答案.【详解】根据三角函数平移伸缩法则得到，，即，则，∴，由，得，，则.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，根据函数值求自变量，意在考查学生的计算能力和转化能力. 四、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：(1)角B；(2)的面积S.【答案】(1)(2). 【分析】(1)正弦定理求解；(2)根据面积公式求解.【详解】（1）由正弦定理，得，因为在中，且，所以.（2）因为，所以.所以.18．记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，又，所以．所以．（2）因为，所以，由，解得，所以．19．为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．【答案】(1)(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析 【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；（3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则．（2）X的可能取值为2，3，4，，，X的分布列为；X234P数学期望．（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．20．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．    (1)证明：平面平面PBC；(2)当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【详解】（1）因为底面，平面，所以．因为，，所以．所以，所以．又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．（2）解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．  设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．  设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以，平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为21．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.【详解】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.（2）由，得，则，设，，则，，所以.22．设函数(1)若，求的极值；(2)证明：当且时，.【答案】(1)有极大值，有极小值(2)证明见解析 【分析】（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后根据单调性求得函数的极值．（2）由题意得，令，然后根据导数证明即可得原不等式成立．【详解】（1）时，，则．当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时,有极大值，且极大值为；当时,有极小值，且极小值为．（2）已知．令，则．因为，，则，所以，则在上单调递增，故，所以当时，．【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析．若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值的问题处理．