2022-2023学年北京市石景山区高二下学期期末考试数学试题含答案

2023年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷

本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2. 设函数,则（    ）

A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出．

【详解】因函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．

3. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，

由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，

故选B．

4. 若，则（    ）

A.  B.  C. 31 D. 32

【答案】C

【分析】利用赋值法可求出结果.

【详解】在中，

令，得，

令，得，

所以.

故选：C

5. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

6. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A. 14 B. 24 C. 28 D. 48

【答案】A

【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，

故不同的选派方案种数为．故选A.

法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，

故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A

7. 函数的图象大致是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】试题分析：由题： ，求导得：， 即：

令：为增区间，为减区间．，得图为C

【解析】运用导数研究函数的性质.

8. 设是等差数列.下列结论中正确的是

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，

D选项，故D错，

下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，

故选C.

【解析】本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.

9. 设，若为函数的极大值点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

10. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

【答案】B

【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.

【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立；

若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况；

若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立；

若仅有④成立则,,,成立,此时有三种情况，

综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，

故选：B

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．

11. 已知，，则等于______．

【答案】

【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

12. 设函数，则使得成立的的取值范围是________.

【答案】

【分析】分和两种情况讨论从而解不等式即可.

【详解】当时，由，得，所以，又因为，所以；

当时，由，得，所以，又因为，所以.

所以满足成立的的取值范围为 .

故答案为：.

13. 若随机变量的分布列为

则______，为随机变量的方差，则______．（用数字作答）

【答案】    ①.     ②.

【分析】根据分布列的性质求出，根据方差公式求出.

【详解】由题意得，得.

，

.

故答案为：；.

14. 二项式的展开式中存在常数项，则可以为______．（只需写出一个符合条件的值即可）

【答案】（答案不唯一，为的倍数的正整数均可）

【分析】在通项公式中，令的指数为，可求出结果

【详解】，，

令，得，因为为整数，为正整数，所以为偶数，为的倍数的正整数.

故答案为：（答案不唯一，为的倍数的正整数均可）.

15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知函数

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；

（3）讨论关于x的方程的实根个数．

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值   

（2）图象见解析    （3）答案见解析

【分析】（1）由导数得出其单调性以及极值；

（2）由单调性画出函数的大致图像；

（3）画出函数与函数的简图，由图像得出方程根的个数.

【小问1详解】

，

即函数的单调递增区间为，单调递减区间为

极小值为，无极大值.

【小问2详解】

当时，；当时，，且

结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示

【小问3详解】

画出函数与函数的简图，如下图所示

由图可知，当时，方程没有实数根；

当或时，方程只有一个实数根；

当时，方程有两个不相等的实数根；

17. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；

（2）根据等差数列的前项和公式可得，再裂项求和求解即可

【小问1详解】

设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．

【小问2详解】

由，得，所以，                                      

．

18. 某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．

（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．

（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；期望为

【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.

（2）X的可能取值为，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.

【小问1详解】

该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率.

【小问2详解】

X的可能取值为，所以

，

，

，

该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列：

期望.

19. 设，，．

（1）分别求函数，在点处的切线方程；

（2）判断与的大小关系，并加以证明．

【答案】（1）点处的切线方程为，在点处的切线方程为；   

（2），证明见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）作差构造函数，利用导数可证结论成立.

【小问1详解】

因为，，，，，

所以点处的切线方程为，即.

因为，，，，，

所以在点处的切线方程为，即.

【小问2详解】

，证明如下：

设，

，

当时，；当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，

所以.

20. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等概率．

（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】（I）合唱团学生参加活动的人均次数为；（II）；（III）．

【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．

（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

（III）从合唱团中任选两名学生，

记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，

“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，

“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．

易知；

；.

的分布列：

的数学期望：．