2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022—2023学年度第二学期阶段性质量监测高二年级数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. 若，，，则（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，，而，，则，所以.故选：A2. “”是“”成立的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为解得或，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B3. 函数的大致图象为（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】分析】应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案.【详解】由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除D.故选：A4. 若，，，则（    ）A B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先判断出，再构造函数，比较出，从而得到答案.【详解】，，，故，又，，令，，，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，则在上恒成立，则在上单调递减，故，所以故选：D5. 甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用条件概率公式求解即可．【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以，故选：D6. 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　）A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.【详解】依题意：，所以正相关，负相关，，所以的线性相关性较强.故选：C7. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知.由全概率公式得。故选：C8. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数（天）3456繁殖个数（千个）2.534.5由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为A. 4.9 B. 5.25C. 5.95 D. 6.15【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，求得，得到回归直线的方程为，即可作出预测，得到答案．【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，即样本中心为，代入回归直线方程，即，解得，即回归直线的方程为，当时，，故选B．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种【答案】A【解析】【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．考点：本题主要考查分步计数原理的应用．点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．10. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.【详解】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．综上，t 的取值范围是.故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11. 6的二项展开式中的常数项为___________.【答案】60【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数等于零，即可得出答案.【详解】解：6的二项展开式的通项为，令，则，所以6的二项展开式中的常数项为.故答案为：60.12. 计算：____________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解.【详解】因为，所以.故答案为：.13. 某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．【答案】0.4##【解析】【分析】易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案【详解】由题意知，，∴∴正态分布曲线的对称轴为直线，因为，∴，故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4，故答案为：0.414. 已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解.【详解】取出的2个球共有种，若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；可得同色球共有种，所以取出的2个球为同色球的概率为.故答案为：.15. 函数的最小值为____________.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式求和的最小值.【详解】由，根据基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为4.故答案为：4三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式中各项的系数和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合二项展开式的通项公式求得，进而可得展开式的第四项；（2）利用赋值法，令，求各项系数之和.小问1详解】因为的展开式为，由题意可知：，，，且，，则，即，解得或（舍去），第四项.【小问2详解】由（1）可得二项式，令，得展开式各项系数的和为.17. 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为.（1）求白球的个数m；（2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由条件概率公式可得，解方程即可得出答案；（2）求出随机变量X的可能取值及对应的概率，再由期望公式求解即可.【小问1详解】由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，设第一个取出的球是红球为事件，第二个取出的球是白球为事件，所以所以，解得.【小问2详解】由题意，随机变量X可能为0，1，2，则，，，所以随机变量X的分布列为：X012P则期望为.18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程.（2）若直线为曲线的切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.【答案】(1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.【详解】（1）.所以在点处的切线的斜率，∴切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，所以直线的方程为：，所以又直线过点，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直线的方程为，切点坐标为.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.（1）求的概率；（2）求甲队和乙队得分之和为4的的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；（2）由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案.【小问1详解】，则甲队有两人答对，一人答错，故.【小问2详解】设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.，，，，，∴.20. 已知是函数的一个极值点.（1）求a；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有3个零点，求b的取值范围.【答案】（1）16（2）单调递增增区间是，；单调递减区间是（3）【解析】【分析】（1）由极值点，有，可解得a；（2）利用导数求函数的单调区间；（3）利用函数单调性和极值，数形结合求b的取值范围.【小问1详解】，因为是函数的一个极值点.所以，解得,经检验符合题意；【小问2详解】由（1）得，.，令，得，.和随x的变化情况如下：极大值极小值的增区间是和；减区间是.【小问3详解】由（2）知，的极大值为，极小值为.因为，，所以.因为，，所以.函数图像如图所示，当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点，值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为.