人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品综合训练题

2023年人教版数学九年级上册

《22.2二次函数与一元二次方程》分层练习

基础巩固练习

一              、选择题

1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)

A.﹣1＜x＜5       B.x＞5       C.x＜﹣1且x＞5     D.x＜﹣1或x＞5

2.函数y＝kx2﹣6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)

A.k＜3          B.k＜3且k≠0          C.k≤3          D.k≤3且k≠0

3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)

4.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　　)

A.x1＝1，x2＝－1                                B.x1＝1，x2＝2

C.x1＝1，x2＝0                                  D.x1＝1，x2＝3

5.如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(　　)

A.－1≤x≤3         B.x≤－1        C.x≥1       D.x≤－1或x≥3

6.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

则下列说法错误的是(　　)

A.二次函数图象与x轴交点有两个

B.x≥2时y随x的增大而增大

C.二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间

D.对称轴为直线x＝1.5

7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示.

下列结论：

①抛物线过原点；

②4a＋b＋c＝0；

③a﹣b＋c＜0；

④抛物线的顶点坐标为(2，b)；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大.

其中结论正确的是(　　)

A.①②③        B.③④⑤        C.①②④        D.①④⑤

8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①a＜0；②b＞0；③b＜a＋c；④2a＋b＝0；其中正确的结论有(　　)

A.1个         B.2个         C.3个         D.4个

9.如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根         B.有两个相等的实数

C.没有实数根                   D.以上结论都正确

10.已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m＋2 023的值为(　　)

A.2 023        B.2 024          C.2 025        D.2 026

二              、填空题

11.抛物线y＝﹣x2﹣2x＋m，若其顶点在x轴上，则m＝　 　.

12.已知二次函数y=2x2﹣6x＋m的图象与x轴没有交点，则m的值为　   　.

13.抛物线y＝x2﹣4x＋3与x轴两个交点之间的距离为　   　.

14.已知抛物线y＝x2－3x＋m与x轴只有一个公共点，则m＝      .

15.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，若点P(4，0)在该抛物线上，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为　   　.

16.二次函数y1＝ax2＋bx＋c的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围　    　.

三              、解答题

17.已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3.

(1)求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；

(2)当x取何值时，函数值最大？

(3)当y＞0时，请你写出x的取值范围.

18.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题.

(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；

(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

能力提升练习

一              、选择题

1.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列说法中，正确的是(    ).

A.abc＜0，b2－4ac＞0     B.abc＞0，b2－4ac＞0

C.abc＜0，b2－4ac＜0     D.abc＞0，b2－4ac＜0

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是(  )

A.abc＜0         B.2a+b=0         C.b2－4ac＞0         D.a－b+c＞0

3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示.

下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；

③3a＋c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是(      )

A.4个           B.3个           C.2个           D.1个

4.若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　)

A.0      B.0或2      C.2或﹣2      D.0，2或﹣2

5.关于二次函数y＝ax2＋bx＋c图象有下列命题：

(1)当c＝0时，函数的图象经过原点；

(2)当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根；

(3)当b＝0时，函数图象关于原点对称.

其中正确的个数有(　　)

A.0个                   B.1个       C.2个                       D.3个

6.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2.

下列结论：

(1)4a＋b＝0；

(2)9a＋c＞3b；(

3)8a＋7b＋2c＞0；

(4)若点A(－3，y1)、点B(-,y2)、点C(,y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；

(5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.

其中正确的结论有(    )

A.2个     B.3个      C.4个   D.5个

二              、填空题

7.已知二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是________.

8.二次函数y＝x2＋mx＋m﹣2的图象与x轴有________个交点.

9.已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0).若2＜m＜3，则a的取值范围是_________________.

10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，有下列6个结论：

①abc＜0；  ②b＜a﹣c；                     ③4a＋2b＋c＞0；

④2c＜3b；  ⑤a＋b＜m(am＋b)，(m≠1的实数)  ⑥2a＋b＋c＞0，

其中正确的结论的有_____.

三              、解答题

11.设二次函数y＝ax2＋bx﹣(a＋b)(a，b是常数，a≠0).

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；

(2)若该二次函数图象经过A(﹣1，4)，B(0，﹣1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.

12.自主学习，请阅读下列解题过程.

解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得：x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0).画出二次函数y＝x2－5x的大致图象(如图所示)，由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以，一元二次不等式x2－5x＞0的解集为：x＜0或x＞5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的________和________.(只填序号)

①转化思想　②分类讨论思想　③数形结合思想

(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解集为________.

(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.

答案

基础巩固练习

1.A.

2.C.

3.B

4.B.

5.D.

6.D.

7.C.

8.C.

9.B.

10.C

11.答案为：﹣1.

12.答案为：m＞.

13.答案为：2.

14.答案为：.

15.答案为：﹣2和4.

16.答案为：﹣2＜x＜1.

17.解：(1)∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴图象顶点坐标为(1，4)，

当y＝0时，有﹣x2＋2x＋3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)；

(2)由(1)知，抛物线顶点坐标为(1，4)，且抛物线开口方向向下，当x＝1时，函数值最大；

(3)因为图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，且抛物线开口方向向下，

所以当y＞0时，﹣1＜x＜3.

18.解：(1)图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x＝1 或x＝3；

(2)不等式ax2＋bx＋c＞时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y 的值＞0，

∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，3)；

(3)图中可以看出对称轴为x＝2，

∴当x＞2时，y随x的增大而减小；

(4)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，

∴，解得：a＝﹣2，b＝8，c＝﹣6，

∴﹣2x2＋8x﹣6＝k，移项得﹣2x2＋8x﹣6﹣k＝0，

△＝64﹣4(﹣2)(﹣6﹣k)＞0，整理得：16﹣8k＞0，

∴k＜2时，方程ax2＋bx＋c＝k有2个相等的实数根。

能力提升练习

1.B.

2.D

3.B

4.D.

5.C.

6.B.

7.答案为：k＜4.

8.答案为：2.

9.答案为：＜a＜或－3＜a＜－2

10.答案为：①③④⑥

11.解：(1)由题意Δ＝b2﹣4·a[﹣(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.

(2)解：∵当x＝1时，y＝a＋b﹣(a＋b)＝0，

∴抛物线不经过点C.

把点A(﹣1，4)，B(0，﹣1)分别代入，得

 解得

∴抛物线对应的函数解析式为y＝3x2﹣2x﹣1.

(3)证明：当x＝2时，

m＝4a＋2b﹣(a＋b)＝3a＋b＞0①，

∵a＋b＜0，

∴﹣a﹣b＞0②，

①②相加得：2a＞0，∴a＞0.

12.解：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；

(2)由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－5x＜0，∴一元二次不等式x2－5x＜0的解集为：0＜x＜5.

(3)设x2－2x－3＝0，解得：x1＝3，x2＝－1，

∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0).画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象(如图所示)，

由图象可知：当x＜－1或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，

即x2－2x－3＞0，

∴一元二次不等式x2－2x－3＞0的解集为：x＜－1或x＞3.