2023年人教版数学九年级上册《二次函数》单元提升卷（含答案）

2023年人教版数学九年级上册

《二次函数》单元提升卷

一              、选择题

1.已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝＋x.

其中，二次函数的个数为(     )

A.1个        B.2个       C.3个        D.4个

2.已知两点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)

A.若y1＝y2，则x1＝x2                B.若x1＝－x2，则y1＝－y2

C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2          D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2

3.如图，已知二次函数y＝(x＋1)2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值(　　)

A.﹣3和5      B.﹣4和5    C.﹣4和﹣3    D.﹣1和5

4.抛物线y＝3x2＋2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(    ).

A.y＝3x2＋2x﹣5             B.y＝3x2＋2x﹣4

C.y＝3x2＋2x＋3             D.y＝3x2＋2x＋4

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则这个二次函数的解析式是(　)

A.y＝﹣2x2﹣x＋3        B.y＝﹣2x2＋4

C.y＝﹣2x2＋4x＋8       D.y＝﹣2x2＋4x＋6

6.二次函数y=ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1=0的实数根为(　　)

A.x1=0，x2=4      B.x1=－2，x2=6     C.x1=，x2=       D.x1=－4，x2=0

7.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)，如图所示，能使y1＞y2成立的x的取值范围是(　　)

A.x＜﹣2　　B.﹣2＜x＜8     C.x＞8　　D.x＜﹣2或x＞8

8.心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系,当提出概念13min时,学生对概念的接受力最大,为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为(    )

A.y=﹣(x﹣13)2+59.9                              B.y=﹣0.1x2+2.6x+31  

C.y=0.1x2﹣2.6x+76.8                             D.y=﹣0.1x2+2.6x+43

9.如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为(　　)

A.4       B.8       C.16       D.32

10.在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是(　　)

A.   B.   C. D.

11.如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m＞4，那么AB的长是(　　)

A.4＋m       B.m       C.2m﹣8       D.8﹣2m

12.已知抛物线y＝﹣x2＋x＋6与直线y＝x交于点A,点B,则AB的长为(      )

A.3                        B.6                      C.3                         D.2

二              、填空题

13.函数y＝(m＋1)x|m|＋1＋4x﹣5是二次函数，则m＝          .

14.若点A(1，2)，B(n，2)都在抛物线y＝x2﹣4x＋m上，则n＝　   　.

15.定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1<x2时，有y1<y2，则称该函数为增函数.根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有____________.(填上所有正确答案的序号)①y＝2x；②y＝－x＋1；③y＝x2(x>0).

16.有长24 m的篱笆,一面利用长为12 m的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃垂直于墙的一边长为x m,面积为S m2,则S与x的函数关系式是　　　　,x的取值范围为　　　　. 

17.已知二次函数y＝x2－2mx＋1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m取值范围是      .

18.如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为    　.

三              、解答题

19.已知函数y＝﹣(x＋1)2﹣2

(1)指出函数图象的开口方向是　   　，对称轴是　   　，顶点坐标为　   　

(2)当x　   　时，y随x的增大而增大

(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣(x＋1)2﹣2

20.如图，以A(3，0)，为顶点的抛物线交y轴于点B(0，4)

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)点C(7，4)是否也在这个抛物线上？

(3)你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C(7，4)？若能，请写出平移的方法．

21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋16的图象经过点(﹣2，40)和点(6，﹣8)

(1)分别求a、b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴；

(2)当﹣2≤x≤6时，试求二次函数y的最大值与最小值．

22.已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)．

(1)求二次函数的对称轴；

(2)点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．

23.已知函数y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m(m为常数).

(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是　   　.

A.0      B.1       C.2       D.1或2

(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上.

(3)当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.

24.某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.

根据以上材料解答下列问题：

设公司每日租出x辆车时，日收益为y元(日收益＝日租金收入﹣平均每日各项支出).

(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为　   　元(用含x的代数式表示)；

(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？

(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？

25.(1)抛物线y＝ax2＋c经过点A (4，0)、点B (1，﹣3)，求该抛物线的解析式.

(2)如图1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

(3)如图2，点P(0，m2)(m＞0)，在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y＝x2于点A、B，交抛物线C2：y＝x2于点C、D，求的值.

答案

1.B.

2.D.

3.B

4.C

5.D

6.A.

7.D.

8.D

9.B.

10.C

11.C.

12.A

13.答案为：1.

14.答案为：3.

15.答案为：①③.

16.答案为：S＝(24﹣3x)x；4≤x<8.

17.答案为：m≤1.

18.答案为：2﹣2.

19.解：(1)∵函数y＝﹣(x＋1)2﹣2，

∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是(﹣1，﹣2)，

故答案为：向下，直线x＝﹣1，(﹣1，﹣2)；

(2)∵函数y＝﹣(x＋1)2﹣2，

∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，

故答案为：x＜﹣1；

(3)将抛物线y＝﹣x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣(x＋1)2﹣2.

20.解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x﹣3)2，

把B(0，4)代入得4＝a×(0﹣3)2，解得a＝，

∴抛物线解析式为y＝(x﹣3)2；

(2)当x＝7时，y＝(x﹣3)2＝×(7﹣3)2＝≠4，

∴点C(7，4)不在这个抛物线上；

(3)能．设平移后的抛物线解析式为y＝(x﹣m)2，

把C(7，4)代入得×(7﹣m)2＝4，解得m1＝4，m2＝10，

∴把抛物线y＝(x﹣3)2向右平移1个单位或7个单位可经过点C(7，4)．

21.解：(1)根据题意，将点(﹣2，40)和点(6，﹣8)代入y＝ax2＋bx＋16，

得：，解得：，

∴二次函数解析式为：y＝x2﹣10x＋16＝(x﹣5)2﹣9，

该二次函数图象的顶点坐标为：(5，﹣9)，对称轴为x＝5；

(2)由(1)知当x＝5时，y取得最小值﹣9，

在﹣2≤x≤6中，当x＝﹣2时，y取得最大值40，

∴最大值y＝40，最小值y＝﹣9．

22.解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx﹣3a(a＜0)的图象经过(3，0)，

∴把(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3a，得

9a＋3b﹣3a＝0，

化简，得b＝﹣2a，

∴二次函数的对称轴为：x=1．

(2)∵点A的坐标为(1，0)，将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，

∴B(2，3)，

∵a＜0，开口向下，

∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，

解得a≥﹣1，

故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．

23.解：(1)∵函数y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m(m为常数)，

∴△＝(m﹣1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；

(2)y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m＝﹣[x﹣(m-1)]2＋(m＋1)2，

把x＝(m-1)代入y＝(x＋1)2得：y＝[(m-1)＋1]2＝(m＋1)2，

则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；

(3)设函数z＝(m＋1)2，

当m＝﹣1时，z有最小值为0；

当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；

当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，

当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，

则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4.

24.解：(1)每辆车的日租金是500＋50(20﹣x)＝1500﹣50x(0≤x≤20，x为整数).

(2)∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，

∴日租金收入＝x(1500﹣50x).

又∵日收益＝日租金收入﹣平均每日各项支出，

∴y＝x(1500﹣50x)﹣6250

＝﹣50x2＋1500x﹣6250＝﹣50(x﹣15)2＋5000.

∵租赁公司拥有20辆小型汽车，

∴0≤x≤20.

∴当x＝15时，y有最大值5000.

∴当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元.

(3)当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y＝0.

∴﹣50(x﹣15)2＋5000＝0，解得x1＝25，x2＝5.

∴当5＜x＜25时，y＞0.

∵租赁公司拥有20辆小型汽车，

∴当每日租出5＜x≤20(x为整数)辆时，租赁公司的日收益才能盈利.

25.解：(1)把点A (4，0)、点B (1，﹣3)代入y＝ax2＋c得，

，解得：，

∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣；

(2)由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：

y＝a(x﹣1)2＋3(0≤x≤3)，

代入(3，0)求得：a＝﹣.

将a值代入得到抛物线的解析式为：

y＝﹣(x﹣1)2＋3(0≤x≤3)，

令x＝0，则y＝＝2.25.故水管长为2.25m；

(3)将点P的纵坐标y＝m2(m＞0)代入y＝x2得x＝±2m，

∴A(﹣2m，m2)，B(2m，m2)，

∴AB＝4m.

将y＝m2(m＞0)代入：y＝x2得x＝±3m，

∴C(﹣3m，m2)，D(3m，m2)，

∴CD＝6m.

∴＝＝.