2023-2024学年四川省成都七中初中学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都七中初中学校八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列四个图标中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 打开电视，正在播放神舟载人飞船发射 B. 掷一枚骰子，点数是的面朝上
C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 三角形内角和是

4.  下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明≌的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  等腰三角形的顶角是，则它的底角是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知，，要使≌，添加的条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在四边形中，动点从点开始沿的路径匀速前进到为止．在这个过程中，的面积随时间的变化关系用图象表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  新冠肺炎患者喷嚏、咳嗽、说话的飞沫，直接吸入都会导致感染，所以我们要戴口罩，医用口罩可以过滤小至米颗粒，用科学记数法表示是______ ．

10.  已知，则的余角的度数是______。

11.  为深入学习贯彻党的二十大精神，某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有六男三女共名学生报名参加演讲比赛若从报名的名学生中随机选名参加比赛，则这名学生是女生的概率是______ ．

12.  某市区出租车的收费标准是起步价元行程小于或等于千米，超过千米每增加千米不足千米按千米计算加收元，则出租车费元与行程千米之间的关系式为______ ．

13.  如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______ ．
14.  若，，则 ______ ．

15.  七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为______ ．

16.  如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是______ ．

17.  已知：在四边形中，，相交于点，且点是的中点，，过点作，垂足为点，与交于点，，若，的面积为，则四边形的面积为______ ．

18.  如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，______度．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算：
计算：；
计算：；
先化简，再求值：，其中，．

20.  如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均为格点网格线的交点．
作出三角形关于直线的轴对称图形三角形；
求三角形的面积；
在直线上找一点使得三角形的面积等于三角形的面积．

21.  “草莓音乐节”组委会设置了甲，乙，丙三类门票，初一班购买了甲票张，乙票张，丙票张，班长采取在全班同学中随机抽取的方式来确定观众名单，且每个同学只有一次机会，已知该班有名学生，请根据题意解决以下问题：
该班某个学生恰能去参加“音乐节”活动的概率是多少？
该班同学强烈呼吁甲票太少，要求每人抽到甲票的概率要达到，则还要购买甲票多少张？

22.  父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式；
你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？

23.  在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接．

如图，求证：≌；
若，将沿直线翻折得到，连接交于．
如图，若，求证：为的中点；
如图，交于点，若，求．

24.  若，，求的值；
如图，点、分别是正方形的边与上的点，以、为边在正方形内部作面积为的长方形，再分别以、为边作正方形和正方形若图中阴影部分的面积为，求长方形的周长．

25.  “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
乌龟每分钟爬多少米？
兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，
请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
求出兔子和乌龟相距米时的值．

26.  如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图标都不能找一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查的是幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的法则、去括号与添括号、同底数幂的乘法等知识，熟知以上知识是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A不符合题意；
B.掷一枚骰子，点数是的面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C.两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；
D.三角形内角和是，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、，
长度为，，的三根小木棒，能摆成三角形，本选项符合题意；
B、，
长度为，，的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、，
长度为，，的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、，
长度为，，的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：根据作图的过程可知：
，，
≌

故选：．
根据尺规作角的平分线的过程即可得结论．
本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，解决本题的关键掌握是作角平分线的过程．

6.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角是，等腰三角形的两底角相等，
它的底角是：，
故选：．
根据“等腰三角形的两底角相等”及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
．
A.若，则，
不能使≌，故不符合题意；
B.若，，，此时符合，不能使≌，故不符合题意；
C.若，则，
，
，，
≌，故符合题意；
D.若，不能使≌，故不符合题意；
故选：．
根据，可得，然后根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法即、、、和是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．

8.【答案】 

【解析】解：当点由点运动到点时，的面积是由小到大；
然后点由点运动到点时，的面积是不变的；
再由点运动到点时，的面积又由大到小；
再观察图形的，故的面积是由小到大的时间应小于的面积又由大到小的时间．
故选：．
根据实际情况来判断函数图象．
应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量．

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．

10.【答案】 

【解析】解：设的余角是，则，
，
．
故答案为：．
设的余角是，则，再根据求出的度数即可．
本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角。即其中一个角是另一个角的余角．

11.【答案】 

【解析】解：该校九年级有六男三女共名学生报名参加演讲比赛，
这名学生是女生的概率是．
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
本题考查了用概率公式求事件的概率，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
当时，

，
故答案为：．
根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可．
本题考查了用关系式表示变量间的关系，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：．
根据，求出，即可．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14.【答案】解：原式
；



；
原式

，
当，时，
原式

． 

【解析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
先乘方再乘除运算即可；
原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

15.【答案】解：如图，即为所求；
的面积；
如图，点，点即为所求．
 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
利用等高模型画出图形即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．

16.【答案】解：该班有名学生，且每名同学抽中的可能性相等，三种票有张，
该班某个学生能有幸去参加“音乐节”活动的概率是：
某同学抽中门票，
答：该班某个学生恰能去参加“音乐节”活动的概率是；
设还要购买甲票张，则
，
解得：，
答：还要购买甲票张． 

【解析】根据该班有名学生，三种票有张，故利用三种票张数除以学生总人数即可得出答案；
设还要购买甲票张，由概率公式建立方程求解即可．
本题考查了概率公式的应用．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

17.【答案】解：由表格数据可得，高度每增加千米，温度就下降，
则；
当时，，
即距离地面千米的高空温度是． 

【解析】结合表格数据即可求得与的关系式；
将代入中所求关系式求得的值即可．
本题考查函数关系式，结合表格数据求得函数关系式是解题的关键．

18.【答案】证明：，，，
，
在与中，
，
≌；
证明：同得≌，
，，
连接，如图，

将沿直线翻折得到，
，
，
，
，
由三线合一得：是的中点；
解：连，延长、交于，如图：

设，
，
，
将沿直线翻折得到，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
同知，≌，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，，
． 

【解析】由，，，得，即可求解；
由≌和翻折得，由得，即，由三线合一得是的中点；
连，延长、交于，设，，证明≌，可得，，而≌，有，，故CE，，可得，，从而，即得，，即可求出．
本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．

19.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
根据同底数幂除法法则计算即可．
本题考查了同底数幂除法，熟记法则是解题的关键，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

20.【答案】 

【解析】解：设总面积为，则其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．

21.【答案】 

【解析】解：设交于点，过作，如图：

设，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：点是的中点，，
，，
的面积，
，
，
，，
，
≌，
，
菜地的面积的面积的面积，
故答案为：．
先根据题意求出，再利用三角形的面积求出，然后说明≌，即可得出，从而可求四边形的面积．
本题考查三角形的面积，中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题关键．

23.【答案】 

【解析】解：如图中，作，使得，连接，．

是等边三角形，，，
，，
，
，，
≌，
，
，
，，共线时，的值最小，
如图中，当，，共线时，

≌，
，
，
，
，
当的值最小时，，
故答案为．
如图中，作，使得，连接，证明≌，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题．
本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

24.【答案】解：因为，
所以．
又，，
所以．
即的值为．
设长方形的长和宽为分别为和，
根据题意得，
所以


，
则，
故．
所以长方形的周长为． 

【解析】根据即可解决问题．
分别令长方形的长和宽为和，根据长方形的面积为以及阴影部分的面积为可得到关于和的等式，利用整体思想即可解决问题．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟知、及三者之间的关系是解题的关键．

25.【答案】解：乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻，
折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的全过程为米；
结合图象得出：
兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米．
兔子跑了米停下睡觉，用了分钟，
剩余米，所用的时间为：分钟，
兔子睡觉用了：分钟．
所以兔子中间停下睡觉用了分钟．
兔子睡觉前相距米时，

，
兔子睡觉后相距米时，
，
．
综上所述：或． 

【解析】利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线的意义和全程的距离；根据图象中点、实际意义可得速度；
利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，再求解即可．
分兔子睡觉前相距米时和兔子睡觉后相距米时两种情况解答即可．
本题主要考查一次函数的应用，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的关键．

26.【答案】证明：如图，连接，

，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；

证明：如图，在上截取，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
即；

解：如图，延长至点，使，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出≌，即，即可得出结论；
同的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，垂直平分线的性质，判断出是解本题的关键．