2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知初级中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知初级中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将分式中、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的倍

3.  如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，，点在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是等边三角形，点是的中点，延长到点，使，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则点与点之间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，菱形的边长为，对角线的长为，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，，点在边上，且将沿折叠至，延长交边于点，连接、，下列结论：≌；；；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  正九边形的每一个内角是______ 度

13.  如图，为平行四边形的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为______ ．

14.  如图，中，，，点在内，且，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
化简：；
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
解分式方程：
；
．

18.  本小题分
如图，已知中，，，请你利用尺规在边上找一点，使得不写作法，保留作图痕迹

19.  本小题分
如图，点、、在同一条直线上，，，试说明：．

20.  本小题分
为了解决雨季时城市内涝的难题，区政府决定对地下管网按照“雨污分流”要求进行改造某施工队负责改造一段长为米的街道地下管网时，每天的施工速度比原计划提高了，按这样的速度可以比原计划提前天完成任务求实际施工时每天改造地下管网的长度．

21.  本小题分
如图，四边形的对角线于点，点为四边形外一点，且，平分，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．

22.  本小题分
为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和体恤衫进行线上销售，它们的进价和售价如下表已知购进一件衬衣比一件体恤衫的进价贵元，用元恰好可购进衬衣件和体恤衫件．
分别求出表中和的值；
若该电商计划购进衬衣和体恤衫两种服饰共件，据市场销售分析，体恤衫进货件数不低于衬衣件数的倍如何进货才能使木次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求直线和直线的表达式；
点是轴上一点，点是直线上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标．

24.  本小题分
问题提出：如图，在，，，点是边上一点，若平分的面积，则 ______ ；
问题拓展：如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在边上，若将平行四边形的面积平分，求线段的长度；
问题应用：张伯伯有一块空地，如图，四边形为空地的示意图，经测量，，，，张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点修一条笔直的小路将四边形的面积平分，请问是否存在这样的路？若存在，请求出这条路的长度；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
将分式中的、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的倍，
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，
，
，
故选：．
利用平移的性质求出，再利用平角的性质解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出的度数．

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得，
原方程增根为，
把代入整式方程，得．
故选：．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
是等边三角形，点是的中点，
，，平分，
，，
，
，
，且为的外角，
，
，
，
．
故选：．
先根据等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求出的长，再由等角对等边得出即可．
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．利用等边三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由旋转性质得，，，
，
是等边三角形，
，则，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
，即，
故选：．
先由旋转性质得，，，再证明、是等边三角形，得到，再根据含度角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接交于，
四边形是菱形，
，，，，，
，，
的面积，
平分，
，
，
，
的面积的面积，
故选：．
连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证出是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，，
，，
将沿折叠至，
，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，故正确；
，
≌，
，
，
，即，
，
，故正确；
如图，过点作于点，

，，
，
，
，即，
，
，故正确．
综上，正确的结论有．
故选：．
由折叠可得，，，于是通过证明≌；由全等三角形的性质可得，可设，则，，在中，利用勾股定理建立方程，解得，则；根据等边对等角可得，由全等三角形的性质得，再利用三角形外角性质得，进而得到，于是可得；由等面积法可得，求得，最后利用三角形面积得．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形的面积，熟知折叠的性质是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：．
先求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理．
边形的内角和为：．
此类题型直接根据内角和公式计算可得内角和，再除以边数即可．

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
垂直平分，
．
故答案为：．
四边形是平行四边形则，，得到，，由，则可证明≌，得到，则，再证垂直平分，则，即可得到答案．
此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，
根据旋转的性质，得，
，，
，

，
，
，
，，三点共线，
，
．
故答案为：．
将绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质，勾股定理，，根据勾股定理的逆定理，，得到，继而得到，结合，判定，，三点共线，运用勾股定理计算即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

15.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】解：


；



，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则以及乘法公式进行计算即可；
先根据分式的混合运算法则以及乘法公式化简原式，再代值求解即可．
本题考查分式的化简求值、分母有理数，熟练掌握分式的混合运算法则，正确求解是解答的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，
经检验，，
是方程的根；
，
，
，
，
，
经检验，，
是方程的根． 

【解析】去分母、移项、合并同类项，的系数化为，最后对所求的根进行检验即可；
去分母、去括号、移项、合并同类项，的系数化为，最后对所求的根进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．

18.【答案】解：如图，点即为所求，

理由：由作图知：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
． 

【解析】作的垂直平分线交与点，连接即可．
本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．

19.【答案】证明：，
，
，
，，，
≌，
． 

【解析】由，可得，则，证明≌，进而结论得证．
本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确全等的条件．

20.【答案】解：设原计划每天改造地下管网米，则实际施工时每天改造地下管网米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：实际施工时每天改造地下管网米． 

【解析】设原计划每天改造地下管网米，则实际施工时每天改造地下管网米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出原计划每天改造地下管网的长度，再将其代入中，即可求出实际施工时每天改造地下管网的长度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】证明：，，．
，，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
作于，如图：
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】证出，，得出四边形是平行四边形；再证出，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，作于，则，证出是等腰直角三角形，得出，则，即可得出的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

22.【答案】解：依题意得：，
解得
答：的值为，的值为；
设购进衬衣件，则购进体恤衫件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进衬衣件，体恤衫件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
设购进衬衣件，则购进体恤衫件，根据体恤衫进货件数不低于衬衣件数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和函数解析式．

23.【答案】解：将代入中，得，
则，
直线：；
将代入中，得，
则，
直线：；
令，则，
，
设，，
如图，，
点、、、为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：

若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
，
综上，满足条件的点坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先求得点坐标，设，，根据平行四边形的性质，分为对角线和为对角线两种情况求解即可．
本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．

24.【答案】 

【解析】解：由题意知，是的中线，如图，

，，
，，
由勾股定理得，
故答案为：；
平行四边形，将平行四边形的面积平分，
，，
如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，

，，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，
的长度为；
如图，延长，交点为，

，，
，，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，即，解得，
，，
同理，则，
，
，
如图，过作于，
，则，
由勾股定理得，
，
，解得，
，
由勾股定理得，
存在，这条路的长度为．
由题意知，是的中线，如图，是等腰三角形，则，，由勾股定理得，计算求解即可；
由题意知，，如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，，，，，，则，，由勾股定理得，计算求解即可；
如图，延长，交点为，则，，，，，设，则，由勾股定理得，即，解得，即，，同理，则，，则，如图，过作于，，则，由勾股定理得，由，可得，解得，则，由勾股定理得，计算求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．