2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示，北京年冬奥会会徽的创意来自汉字“冬”下列四个选项中，能由该图经过一次轴对称变换得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  平面直角坐标系中，在第四象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 是的平方根 B. 是的平方根
C. 是的平方根 D. 是的平方根

4.  如图，在中，，是的中点，下列结论：；；；，其中，一定正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在正方形网格中，点，在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知，都是关于的一次函数，的图象如图所示，若，下列说法正确的是(    )

A. 的图象与轴的交点位于轴的正半轴
B. 的图象与轴的交点位于轴的正半轴
C. 的图象经过原点
D. 的图象经过第一、二、三象限
 

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  的立方根是          ．

8.  地球与月球的平均距离大约，用科学记数法表示这个距离为______．

9.  一个等腰三角形两边的长分别为和，那么这个三角形的周长是_________．

10.  ，是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为______ ．

11.  如图，数轴上点所表示的数是______．

12.  若三角形三边长为，，，则该三角形是______ 三角形填“锐角”，“直角”或“钝角”．

13.  如图，在中，，，是的中点，则 ______

14.  点，是函数的图象上的两点，若，则 ______ ．

15.  如图，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，他们的底部位于同一条直线上，当分别用片，片拼图时如图，所示，对应的长度分别为，单位：，则图中的拼图长为______ ．

16.  如图，同一平面直角坐标系中，函数与直线的图象交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
计算求下列各式中的
；
．

19.  本小题分
已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．

20.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别是，，．
请画出向左平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴对称的；
三个顶点的坐标分别为、、，可以由变换得到，试写出一种具体的变换过程．

21.  本小题分
如图，身高的小孩站在与点灯杆相距处点灯杆与地面垂直，已知小孩在路灯下影长为，建立适当的平面直角坐标系，用一次函数知识求电灯泡与地面的距离．

22.  本小题分
某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的从某时刻开始计时，前分钟内只打开进水管，在第分钟时，又打开出水管，第分钟时关掉两根水管容器内的水量单位：与时间单位：之间的关系如图所示．
当时，求关于的关系式；
求出水管的出水速度．

23.  本小题分
如图，在中，．
用直尺和圆规作边上的垂直平分线，交、于点，保留作图痕迹，不写作法．
在的条件下，若，．
求的长．
连接，判断和的大小，并解释你的观点．

24.  本小题分
如图，点、、在同一直线上，，垂足为，，点在上，，连接，．
求证：≌；
写出与的位置关系，并说明理由．

25.  本小题分
如图，在数轴上点，表示的数是点是数轴上一动点，若它表示的数是，与之间的距离为．

填写下表，画出和的函数图象；

是的函数吗？______ 填“是”或“不是”；
观察图象：
写出该函数的两条不同类型的性质；
若，则对应的的取值范围是______ ．
若点与点之间的距离是点与原点之间距离的倍为常数则对于每个确定的的值，在数轴上都存在对应的点，例如：当时，或，请你探索并直接写出与的大小关系及对应的的取值范围．

 

26.  本小题分
如图，在中，，，求证：．

请补全证明过程
证明：如图取中点，连接．
在中，， ______ ；．
又，．
为______ 三角形．
请用文字概括所证明的命题；______ ．
如图，某三个城镇中心、、恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇为出发点设计了三种连接方案：
方案：；
方案：；以为中点；
方案：；以为三边的垂直平分线的交点．
设，通过计算，比较三种链接方案中铺设的光缆长度的长短；
不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据轴对称的定义可知，由题图经过变换得到的图形是：．
故选：．
根据轴对称变换的性质判断即可．
本题考查作图利用周长设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．

2.【答案】 

【解析】解：、位于第一象限，故A错误；
B、位于第四象限，故B正确；
C、位于第二象限，故C错误；
D、位于第三象限，故D错误；
故选：．
根据第四项限内的点的点横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查算术平方根与平方根，解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】
解：、的平方根是，故A不符合题意．
B、的平方根是，故B不符合题意．
C、没有平方根，故C不符合题意．
D、是的平方根，故D符合题意．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：根据等腰三角形的“三线合一”性质得出，，，
正确．
故选：．
根据等腰三角形的“三线合一”性质得出，，，即可．
本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．

5.【答案】 

【解析】解：以为腰的等腰三角形有两个，以为底的等腰三角形有一个，如图：

所以符合条件的点的个数为个，
故选：．
分别画出以点和点为顶点的等腰三角形，再画出为顶点的等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意：设，，，设．
，
，
，，
，
的图象与轴的交点位于轴的正半轴，
故选：．
设，，，设根据题意得到，则，，即可得出，的图象与轴的交点位于轴的正半轴．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：因为，
所以的立方根为，
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
科学记数法的一般形式为：，在本题中应为，的指数为．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

9.【答案】 

【解析】解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

10.【答案】 

【解析】解：如图．
，
在轴上．
线段的长度为点到轴上点的距离．
若使得线段长度的最小，由垂线段最短，
当在时，即轴，线段长度最小．
．
故答案为：．
由得在轴上，故若线段的长度最小，垂线段最短，那么当轴时，线段长度最小，即．
本题主要考查平直角坐标系点的坐标以及垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：．
根据勾股定定理，求得，即可求解．
此题考查了勾股定理以及实数与数轴，解题的关键是求得．

12.【答案】钝角 

【解析】解：，
三角形三边长为，，，
可以构成直角三角形，
，即：，
三角形三边长为，，，
此时构成的是钝角三角形，
故答案为：钝角．
先判断三角形三边长为，，，可以构成直角三角形，比直角三角形的斜边还长，即构成的是钝角三角形，据此即可作答．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以三角形形状的判断等知识，掌握三角形中两条较短边的平方和小于第三边的平方，此时三角形为钝角三角形，是解答本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
为线段的中点，
，
．
故答案为：．
由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即．
本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

14.【答案】 

【解析】解：函数，点，是函数图象上两点，
，，
，
，
解得，，
故答案为：．
将，分别代入函数，可得，，再根据，即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数，，且，为常数的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．

15.【答案】 

【解析】解：设图中的拼图长为，突起半圆半径为，
根据题意得：，
解得：，
图中的拼图长为．
故答案为：．
设图中的拼图长为，突起半圆半径为，根据分别用片，片拼图时对应的长度分别为，单位：，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：两个条直线的交点坐标为，
直线向右平移一个单位后，交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，
故不等式的解集为．
故答案为：．
由平移的规律可知直线向右平移一个单位后，交点坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数的图象与一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

17.【答案】解：原式
． 

【解析】利用算术平方根的意义，二次根式的性质和立方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，二次根式的性质和立方根的意义，正确利用上述法则化简运算是解题的关键．

18.【答案】解：，
    

 

【解析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．

20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由图可知，将向左平移个单位长度，再作关于直线对称，可得．
 

【解析】利用平移的性质作图即可．
利用轴对称的性质作图即可．
将向左平移个单位长度，再作关于直线对称，可得．
本题考查作图平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．

21.【答案】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，点为为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，．
设直线的函数表达式为，得，
解得．
所以函数表达式．
当时，．
答：电灯泡与地面距离． 

【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴，点为为坐标原点，建立平面直角坐标系．得，利用待定系数法确定函数解析式，结合函数解析式求得答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

22.【答案】解：设，
由图可知点在该段函数图象上，
，
，
当时，关于的关系式为；
根据图象可得，进水速度为，
同时打开一根进水管和一根出水管的速度为：，
则出水速度为． 

【解析】由图可设当时，关于的关系式为，根据待定系数法即可求解；
根据图象可求出进水速度，同时打开一根进水管和一根出水管的速度，再用进水速度减去同时打开一根进水管和一根出水管的速度即可得到出水速度．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用，根据题意，能正确分析函数图象是解题关键．

23.【答案】解：如图：

为所作；
在中，，，，
，
设为，则为在中，，
解得，
，
，
；
，
理由：，
点，，，在以为直径的圆上，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的基本作图画图；
根据勾股定理求解；
根据在同圆中，弦大的所对的圆周角也较大．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键．

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：理由：
如图延长交于点，
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】在和中，由证明三角形全等；
根据得出即可．
本题考查三角形全等的判定和性质，关键是掌握三角形全等的判定．

25.【答案】              不是  或 

【解析】解：表示与之间的距离，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
函数图象如下：

故答案为：，，，，，，；
当时，或，
不是的函数；
故答案为：不是；
当时，函数有最小值；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
当，即，
解得：或；
故答案为：或；
点与点之间的距离是点与原点之间距离的倍为常数，
，
与的图象如图，

由图象可知，当时，或，
当时，，
当时，或，
综上，当，；当时，．
根据两点间的距离公式可得，再代入相应的值，求得值填入表格即可，再根据描点、连线即可画出图象；
根据函数的定义判断即可；
观察图象即可得出结论；
解不等式即可；
根据题意可得，作出的函数图象，观察两函数图象的交点坐标即可得出结论．
本题主要考查函数的图象、函数的概念、一次函数的图象与性质，学会利用数形结合思想问题解决问题是解题关键．

26.【答案】  等边  在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 

【解析】解：如图取中点，连接．
．
在中，，
，．
又，
．
为等边三角形．
，
故答案为：；等边；
命题为，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，
故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
方案：，
方案：是等边三角形，
，．
为的中点，
，，，
，
，
方案：如图，延长交于，

为三边垂直平分线的交点，
．
，
，，，
，，
，，
，
，
方案三最短，方案一最长；
设，
方案：，
方案：是等边三角形，
，．
为的中点，
，，，
，
，
如图，延长交于，

为三边垂直平分线的交点，
．
，
，，，
，，
，，
，
，
方案三最短，方案一最长．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，可得证是等边三角形，可得结论；
由直角三角形的性质可得结论；
由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出三种方案中铺设的光缆的长度，即可求解；
由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出三种方案中铺设的光缆的长度，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．