2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A. 平行四边形 B. 正五边形 C. 圆 D. 等边三角形2.  在比例尺为：的阜宁县城区图上，上海路的长度约为，它的实际长度约为(    )A.  B.  C.  D. 3.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则下列统计量中发生变化的是(    )A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差4.  抛物线与轴交点的个数为(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 以上都不对5.  一个可以自由转动的转盘如图所示，小明已经任意转动这个转盘两次，每次转盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内．那么，从概率的角度分析，小明第三次转动这个转盘，转盘停止时(    )A. 转出的结果一定是“蓝色”
B. 转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”
C. 转出的结果为“红色”的可能性大于“蓝色”
D. 转出的结果为“蓝色”和“红色”的可能性一样大6.  如图，为的直径，、是上的两点，，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，∽，：：，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是(    )A.
B.
C.
D. 8.  在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.  若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则 ______ 填“”、“”或“”．10.  将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为______ ．11.  已知，，，是成比例线段，期中，，，则 ______ ．12.  如图，在中，，于点，如果，那么 ______ ．
 13.  如图，是的外接圆，，，则的半径是______ ．
 14.  如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的半径，扇形的圆心角等于，则的值是______ ．
 15.  二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线当函数值时，自变量的取值范围是______ ．
 16.  如图，在边长为的等边中，动点，分别在，边上，且保持，连接，，相交于点，则的最小值为______ ．
 三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解方程：
；
．18.  本小题分
我县某校九年级组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各人的比赛成绩如表单位：分，已知甲队成绩的方差是，哪一队的成绩较为整齐？ 甲乙 19.  本小题分
如图，在中，，且点的坐标为．
画出关于点成中心对称的，并写出点的坐标；
求出以点为顶点，并经过点的二次函数关系式．
 
 
 20.  本小题分
如图，已知，求证：∽．
 
 
 21.  本小题分
某景区检票口有，，共个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从个检票通道中随机选择一个检票．
甲选择检票通道的概率是______；
求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．22.  本小题分
学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为米的篱笆围成已知墙长为米，设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃的面积为平方米．
当时，求出的值；
当为何值时，有最大值？最大值是多少？23.  本小题分
如图，正方形，是等边三角形，是正方形对角线不含点上任意一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，求证：．
24.  本小题分
如图，在中，，是的角平分线，以上一点为圆心，为弦作．
尺规作图：作出不写作法与证明，保留作图痕迹；
求证：为的切线．
 
 
 25.  本小题分
新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯在两棵同样高度的树苗和之间，树苗高，两棵树苗之间的距离为，在路灯的照射下，树苗的影长为，树苗的影长为，点、、、、在一条直线上．求路灯的高度．
26.  本小题分
【温故知新】九班数学兴趣小组认真探究了课本第题：如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．

小华很快找出∽，他的思路为：设正方形的边长，则，，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于与中的比例线段来证明与它们都相似请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
如图，在矩形中，为的中点，交于，连结
求证：∽；
设，，是否存在值，使得与相似若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
求线段所在直线的函数解析式；
设抛物线顶点的横坐标为．
用含的代数式表示点的坐标；
当为何值时，线段最短；
当线段最短时，平移后的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】 【解析】解：设它的实际长度为，
根据题意得：：：，
解得：，
，
它的实际长度为．
故选：．
首先设它的实际长度是，然后根据比例尺的定义，即可得方程：：：，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义并列方程是关键．3.【答案】 【解析】解：原数据的、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据、、、、的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
添加一个数据，方差发生变化，
故选：．
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：抛物线，
当时，则，
，
方程有个不相等的实数根，
抛物线与轴交点的个数为个．
故选：．
设，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与轴有几个交点．
本题考查了抛物线与轴的交点问题，正确利用根的判别式进行判断是解题关键．5.【答案】 【解析】解：转盘停止转动后指针都落在“红色”区域内的概率是，
转盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内的概率是，
小明第三次转动这个转盘，转盘停止时转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”；
故选：．
根据阴影部分面积与转盘总面积之比就是转出的结果为“蓝色”的概率，空白部分面积与转盘总面积之比就是转出的结果为“红色”的概率，进行比较即可．
此考查了可能性大小，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．6.【答案】 【解析】解：连接，如图，

为的直径，
，
，
，
弧弧，
，
，
．
故选：．
连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．7.【答案】 【解析】解：∽，：：，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
：：，D错误；
故选：．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：当时，的图象是经过第一、三象限且过原点的直线，的图象是开口向上且顶点为的抛物线，故选项B、不符合题意；
当时，的图象是经过第二、四象限且过原点的直线，的图象是开口向下且顶点为的抛物线，两线交点坐标是和故选项A不符合题意、选项C符合题意；
故选：．
根据正比例函数的性质和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是符合要求的．
本题考查正比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质和二次函数的性质解答．9.【答案】 【解析】解：把乙组数据都减去得到：，，，，，
新数据与甲组数据一样，
所以甲乙的方差相等．
故答案为：．
把乙组数据都减去得到，，，，，根据方差的意义得到新数据与原数据的方差不变，从而可判断甲乙方差的大小关系．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．10.【答案】 【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线解析式为：．
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11.【答案】 【解析】解：已知，，，是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，，，
，
解得：，
故答案为：．
由、、、四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义解答．
此题考查了比例线段以及比例的性质．注意根据题意构造方程是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
∽，
，即，
解得：负值舍去，
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：作直径，如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
即的半径是．
故答案为：．
作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．14.【答案】 【解析】解：扇形的弧长是：，
圆的半径，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
解得：，
故答案为：．
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
本题考查圆锥的计算，正确记忆圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径和圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题关键．15.【答案】或 【解析】解：二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，
图象与轴的另一个交点为：，
故当函数值时，自变量的取值范围是或．
故答案为：或．
直接利用二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点，进而得出答案．
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．16.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，，

，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上运动，如图，

连接交于，则，
根据圆周角定理可得，，，
，
，
当点与重合时，的值最小，
最小值，
故答案为：．
首先由已知条件证明≌，由全等三角形的性质得出，通过构造圆，找到线段的最小值时，点的所在的位置，进而求解．
本题以动点为背景考查了圆周角定理与全等三角形的性质与判定，解题的关键是找到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，最终确定线段的最小值时，点的所在的位置，而求解．17.【答案】解：，
，
，
．
，
，
，
或． 【解析】根据配方法即可求出答案；
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.【答案】解：，
，
甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，
成绩较为整齐的是乙队． 【解析】根据方差的定义求出乙队成绩的方差，再结合方差的意义求解即可得出答案．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．19.【答案】解：，且点的坐标为．
，
、关于点的对称点的坐标为：，．
在平面直角坐标系中描出、点的坐标，再顺次连接就形成了．

点是抛物线的顶点，其坐标为：，
设抛物线的解析式为：，且过，
，
，
抛物线的解析式为：． 【解析】先由条件求出点的坐标，再根据中心对称的性质求出、的坐标，最后顺次连接即可．
根据的结论设出抛物线的顶点式，利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，直角三角形的性质，中心对称，旋转变换作图．20.【答案】证明：，
，
．
，
，
∽． 【解析】根据相似三角形的判定定理即可证明∽．
本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．21.【答案】 【解析】解：景区检票口有，，共个检票通道，
甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况．
．
故答案为：；
由题意列树状图得，

由上图可以看出，
甲乙两人分别从个检票通道中随机选择一个检票共有种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有种，
．
因为景区检票口有，，共个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择检票通道的概率是；
利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键．22.【答案】解：由题意可得，，
即与的函数关系式是；
当时，，
解得，
即的取值是；
由知，
而，
当时，取得最大值，此时， 【解析】利用矩形的面积公式，列出面积关于的函数解析式，即可求解；
根据自变量的取值范围和函数的对称性确定函数的最大值即可．
此题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．23.【答案】证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
．
是正方形的对称轴，
 【解析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定≌，依据全等三角形的对应边相等，即可得到．
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24.【答案】解：如图所示，即为所求；

证明：连接．
，
，
是的角平分线，
，
，
．
又，
，
是的切线． 【解析】因为是弦，所以圆心既在上，也在的垂直平分线上，作的垂直平分线，与的交点即为所求；
因为在圆上，所以只要能证明就说明为的切线．
本题主要考查了复杂作图，切线的判定，角平分线的定义以及平行线的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．25.【答案】解：设的长度为，由题意可知，如图，
，，
∽，∽
，即；
，即，
，
解得，
，
解得．
答：路灯的高度为． 【解析】设的长度为，由题意可知，如图，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，然后利用三角形相似的性质进行相应线段的长．26.【答案】证明：设正方形的边长，则，，
，，
，
四边形是正方形，
，
∽；
解：图中还有∽，∽，下面证明∽，
∽，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，即，
，
∽；
存在值，使得与相似，理由如下：
由题意得：，，，
由知∽，
，即，
，
，
若∽，则，
，
此时方程无解，这种情况不存在；
若∽，则，即，
解得，
当时，与相似． 【解析】设正方形的边长，可得，，即得∽；
由∽，是的中点，可得，再证，即知∽；
证明∽有，即可得，而，故∽；
由，，，∽，可得，，分两种情况：若∽，，方程无解，这种情况不存在；若∽，，解得．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及其应用．27.【答案】解：设所在直线的函数解析式为，
，
，
所在直线的函数解析式为；
顶点的横坐标为，且在线段上移动，
，
顶点的坐标为，
抛物线函数解析式为，
当时，，
点的坐标为；
，
，当且仅当时取得最小值，
当时，线段最短；
由可得当线段最短时，此时点点坐标为，点坐标为，抛物线解析式为，
假设抛物线上存在点使，
在延长线上取，过点作直线平行于，交抛物线于，则△PMA，
设直线表达式为：，将代入得：，解得
所以直线表达式为：
联立
解得或
点坐标为或
 【解析】根据点坐标，用待定系数法求出直线的解析式；
因为点在线段所在直线上，可表示出的坐标，然后用顶点式表示出二次函数解析式，代入可求出点坐标；
对线段的长度利用偶次方的非负性可表示出最小值即可；
本题关键是如何表示出的面积，通过设点的坐标可求出的面积，最终通过解方程可得的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象的平移、函数的交点、图形面积的求法等，主要考查学生数形结合的思想，难度较大．