2022-2023学年山东省青岛市平度市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市平度市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长可以表示为(    )

 

A. 米 B. 米 C.  米 D. 米

4.  关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为
C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 函数的最小值为

5.  已知函数，当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  已知为锐角若，则 ______

10.  如果将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是______．

11.  某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且去年房价在月份、月份、月份、月份的下降率保持一致，则去年月份的房价单价为每平方米______ 元

12.  某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为______ 结果保留

13.  如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于______米．

14.  如图，中，，，，是上一点，于点，于点，边接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知：，．
求作：点，使．

16.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若该方程的一个根为，求实数的值；
若该方程有实数根，求实数的取值范围．

17.  本小题分
甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字，，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回选匀，乙再随机抽取一张若两人抽取的数字和为的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为的倍数，则乙获胜这个游戏公平吗？请说明理由．

18.  本小题分
学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．结果精确到参考数据：，，，
求灯杆的高度；
求的长度．

19.  本小题分
如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，．
求关于的函数解析式．
若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．

 

20.  本小题分
如图，，与交于点，且，，．
求的长．
求证：∽．

21.  本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．

22.  本小题分
某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 ，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？

23.  本小题分
阅读理解：表示一个数，若把数写成形如的形式，其中，，，，，都为整数则我们称把数写成连分数形式．
例如：把写成连分数形式的过程如下：
；
故：
学以致用：
把写成连分数形式不完整的过程如下：
；
；
故：
则 ______ ； ______ ；
请把写成连分数形式；
拓展应用：
小明在“把长为，宽为的长方形纸片，从中裁剪出正方形，使剪出的正方形最少且长方形纸片无剩余”的实验操作中，发现最少正方形个数和“把化为连分数形式”有关联．
即：长为，宽为的长方形纸片可以剪出一个边长为的正方形和两个边长为的正方形，放最少正方形个．写成连分数形式为发现．
参考小明的思路，请你通过特例感知，类比归纳等方法，解决下面问题：如图是长为，宽为的长方形纸片，从中裁剪出正方形，若长方形纸片无剩余，则剪出的正方形最少是几个？

请直接写出化成连分数的形式和“剪出的正方形最少”时正方形的个数．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动当点到达点时，点，停止运动，设点运动时间为秒．
求的长；
当运动停止时，求线段的长；
在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、长方体的三视图不相同，故此选项错误；
C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误；
D、球的主视图和左视图、俯视图都是圆，故此选项正确；
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
所以，
故选：．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

3.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
在直角三角形中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
【解答】
解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：、二次函数，图象的对称轴，故A不正确，不符合题意；
B、图象与轴的交点坐标为，不正确，不符合题意；
C、，图象与轴的交点坐标为和，故C不正确，不符合题意；
D、二次函数，顶点坐标为，，函数值有最小值为，故D正确，符合题意；
故选：．
将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
第二象限内，随的增大而减小，
当时，有最大值，当时，有最小值，
当时，，
故选：．
根据反比例函数的增减性可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，
点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以不正确；
抛物线与轴有两个交点，
，所以不正确；
，
，
所以正确；
时，，
，
所以不正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用抛物线与轴的交点位置得，则可对进行判断；根据抛物线与轴交点个数可对进行判断；利用可对进行判断；利用对称性可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位得到．
故答案为：．
直接根据抛物线向上平移的规律求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

11.【答案】 

【解析】解：设去年房价在月份、月份的下降率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
月份的房价单价为每平方米元．
故答案为：．
设今年房价在月份、月份、月份的下降率为，利用今年月份的房价今年月份的房价今年房价在月份、月份的下降率，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为圆柱，底面直径为，高为；
所以该几何体的侧面积为：．
故答案为：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
本题考查三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．根据三视图转换为几何体是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
过作于，如图，易得四边形为矩形，则米，米，利用平行投影得到，则可判断为等腰直角三角形，所以米，然后计算即可．
【解答】
解：过作于，如图，易得四边形为矩形，
则米，米，
根据题意得：，
所以为等腰直角三角形，
所以米，
所以米．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，连接．

，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
．
故答案为．

15.【答案】解：如图：

点即为所求． 

【解析】作边的垂直平分线交于，则．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作垂直平分线的方法．

16.【答案】解：把代入得：，即，
解得：；
该方程有实数根，
，即，
解得． 

【解析】先把代入原方程得到的一元一次方程，求出的值；
根据一元二次方程根的判别式可知，，然后不等式的解集即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

17.【答案】解：不公平，理由如下：

从树状图可以看出，共有种等可能的情况数，其中两人抽取数字和为的倍数有种，抽取的数字和为的倍数有种，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
，
甲获胜的概率大，游戏不公平． 

【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两人抽取的数字和为的倍数的情况数，然后根据概率公式求出甲和乙获胜的情况数，再进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

18.【答案】解：延长交于点，
则，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
在中，，
，
． 

【解析】延长交于点，根据直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可；
根据正切的定义求出，进而求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．

19.【答案】解：由题意设：，
把，代入，得，
关于的函数解析式为：；
把代入，得，，
小孔到蜡烛的距离为． 

【解析】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．
根据待定系数法得出反比例函数的解析式即可；
根据解析式代入数值解答即可．

20.【答案】解：，
；
，
∽；
，
；
证明：，，
，
，
∽． 

【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可；
利用相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽．

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

22.【答案】解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
，，
设二次函数解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
将点坐标代入抛物线解析式得：

左边右边
即点在抛物线上，
此球一定能投中；
能拦截成功．
理由：将代入得，

他能拦截成功． 

【解析】【分析】
观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
将代入得进而得出答案．本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；代入求出值．

23.【答案】   

【解析】解：由题意得：，；
故答案为：，；
，，
，，，
；
拓展应用：，，
，，
，，，
，
，
答：“剪出的正方形最少”时，正方形的个数．
根据连分数的定义可得结论；
根据连分数的定义，并依照例子写出即可；
拓展应用：把化成连分数，整数的和就是正方形的个数．
本题考查了正方形的性质，新定义：连分数，及有理数的混合运算，理解连分数是本题的关键．

24.【答案】解：过点作于点，

，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
；

当时，．
当时，；

当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
当在线段上时，，
解得．
当点在线段的延长线上时，
，
解得．
的值为或；

当点在线段上，且，
则，
，
，
当点在线段上，且，
如图，过点作于点，

则，，
，
，
；
若点在线段的延长线上，且，

如图，过点作于点，则，，
，
，
．
综合以上可得的值为或或． 

【解析】过点作于点，则四边形是矩形，得出，，由勾股定理可求出答案；
分两种情况，当时，当时，则可得出答案；
由平行四边形的性质列出方程可得出答案；
画出图形，由等腰三角形的性质及勾股定理列出方程，可求出的值．
本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握梯形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．