2023-2024学年四川省成都七中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都七中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省成都七中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  函数中自变量的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且3.  若，则下列各不等式不成立的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度后在轴上，则点的坐标是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，在▱中，的平分线交于点，过点作，垂足为点，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本题共10小题，共40分）9.  一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．10.  分解因式： ______ ．11.  若点在第二象限，则的取值范围______ ．12.  如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______ ．
 13.  如图，在▱中，对角线与交于点，，点为中点，连接，若平分，则 ______ 度
 14.  已知，，则 ______ ．15.  五张背面完全相同且不透明的卡片分别写有，，，，，充分洗匀并任意抽取一张读数记为，关于的分式方程有正整数解的概率为______ ．16.  如图，四边形中，、是对角线，是等边三角形，，，，则的长为______ ．
17.  已知三角形具有稳定性，四边形则不具有稳定性，如图，在四边形中，，，，，为边的中点，连接，则线段长的最大值为______ ．
18.  在平面直角坐标系中，点，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，，当时，，线段：按上述“变换点”组成新图形，直线与新图形恰好有两个公共点，则的取值范围______ ．   三、解答题（本题共8小题，共78分）19.  计算：；
解不等式组：．20.  化简并求值：，其中．21.  如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别是，，．
将绕点顺时针旋转，点的对应的为，点的对应的为，点的对应的为，画出旋转后的；
将平移使点与点重合，点的对应的为，点的对应的为，画出平移后的并写出点坐标；
求出线段平移经过的图形面积．
22.  已知：如图，在四边形中，，四边形是平行四边形，交于点，连接、，．
求证：≌；
如图，连接交于点，连接，若求证：四边形是菱形．

 23.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上．
求出线以的长度；
求出的函数关系式；
若点是轴上的一个动点，点是线段上的点不与点、重合，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由．

 24.  为圆满完成第届全国青少年信息学奥林匹克竞赛承办任务为满足竞赛设备需求，学校准备再购买一批型电脑和型电脑，型电脑比型电脑单价贵元台，用元购买型电脑与用元购买型电脑购得的数量一样多．
求两种型号电脑单价分别为多少元？
学校新建两个电脑室需购买台电脑，计划总费用不超过元，并且要求型电脑数量不能低于台，如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？25.  如图，在平面直角坐标系中，坐标原点记为，直线：与轴于点交，与轴交于点，过点的直线与轴于点交，．
求直线的函数表达式；
点在直线上，使得是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
坐标平面内一点，连接交于点，连接，在坐标平面内是否存在点，使得，？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

 26.  已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．
若点是的中点，求证：是的平分线；
若，，，求的长；
若四边形是边长为的正方形，，求出的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴两边的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．2.【答案】 【解析】解：由题意得，，
解得．
故选A．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3.【答案】 【解析】解：、根据，得成立，不符合题意；
B、根据，得成立，不符合题意；
C、根据，得，原选项不成立，符合题意；
D、根据，得成立，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐项判断即可．
本题考查了不等式性质，熟练掌握不等式性质是本题突破的关键．4.【答案】 【解析】解：中等号右边不是整式积的形式，它不是因式分解，则不符合题意；
是整式乘法运算，它不是因式分解，则不符合题意；
中原式，则不符合题意；
因式分解正确，则符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义及因式分解的方法进行判断即可．
本题考查因式分解的定义及方法，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．5.【答案】 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：将点向左平移个单位长度后得，
点在轴上，
，
解得，
，，
点的坐标是．
故选：．
根据点平移的性质可得出平移后的坐标，再根据点在轴上可知，求出的值即可得出点的坐标．
本题考查的是坐标与图形变化平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：由作法得平分，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：．
利用基本作图得到平分，则，再利用得到，所以，接着利用三角形内角和定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质．8.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，解题的关键是证得，难度不大．9.【答案】 【解析】解：条，
故答案为：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案为：．
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：第二象限点的坐标特征是横坐标小于，纵坐标大于，
，
．
故答案为：．
根据第二象限点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特征，第二象限点的坐标特征是横坐标小于是解题关键．12.【答案】 【解析】解：把代入得，，
，
直线与直线交于点，
不等式的解集是．
故答案为：
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
点为中点，
为的中位线，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，则，，再由三角形中位线定理得，则，然后求出，最后由三角形内角和定理求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解题的关键．14.【答案】解：原式
；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为． 【解析】先算立方根，算术平方根，去绝对值，乘方运算，再合并即可；
求出每个不等式的解集，再求公共解集即可．
本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和求不等式公共解集的方法．15.【答案】解：


，
，
，
原式． 【解析】先把分式的分子和分母分解因式，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后把代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．16.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．点坐标；
线段经过的图形面积．
 【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平行四边形的面积公式求解．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 【解析】由平行四边形的性质得，，所以，而，，所以，，则，再证明，因为，所以，即可证明≌；
由全等三角形的性质得，则，因为，所以四边形是平行四边形，可推导出，，所以四边形是平行四边形，而，四边形是菱形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及四边形是平行四边形是解题的关键．18.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
；
过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由可知，
设，，，
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
此时点不存在；
为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标或． 【解析】分别求出、点坐标，再求的长即可；
过点作轴交于点，证明≌，设，，则，由点在直线上，将点坐标代入直线解析式求出的值，可得点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可；
由可知，设，，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出的值即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键．19.【答案】 【解析】解：

，
当，时，
原式

．
故答案为：．
先将原式进行因式分解，再代入计算即可．
此题考查了利用整体思想求代数式的值的能力，关键是能准确进行因式分解和计算．20.【答案】 【解析】解：，
，
，
分式方程有正整数解，
且，
且，
或，
使分式方程有正整数解的的值有两个，
的值使关于的分式方程有正整数解的概率为．
故答案为：．
解分式方程得出，根据分式方程有正整数解得出且，再求出的值，利用概率公式即可得出答案．
本题考查了分式方程的解、概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．21.【答案】 【解析】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，，

由旋转的性质知，，，
则为等边三角形，
，
，
，
，
．
故答案为．
将绕点顺时针旋转得到，连接，，由旋转的性质知、、，即可得为等边三角形，根据得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，，

为边的中点，
，
，
，
，，，
由勾股定理，得，
，点是的中点，
，
，
线段长的最大值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，求出，，再利用三角形两边之和大于第三边可求出线段长的最大值．
本题考查三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之和大于第三边，将问题转化为三角形两边之和大于第三边求最大值是解题的关键．23.【答案】 【解析】解：点在线段：上，
，
令，
，
，
当，，
即，
当时，，
即，
当时，，线段为：，
当时，，线段为：，
当时，，
当时，，则，
如图所示：

直线恒过，
若与两线段交于两点，
由图象可知界点，，
将、两点代入，
得，，
，
故答案为：．
点在线段：上，根据已知条件确定的取值范围以及对应的直线解析式，，找到界点，，然后代入解析式，求出的最大值和最小值即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式组之间的关系，用待定系数法求函数解析式，理解题意是解决问题的关键．24.【答案】解：设型号电脑单价为元，则型号电脑单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
型号电脑单价为元，型号电脑单价为元；
设型号电脑购买台，购买总费用为元，则型号电脑购买台，
计划总费用不超过元，并且要求型电脑数量不能低于台，
，
解得，
根据题意，，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
此时，
型号电脑购买台，型号电脑购买台，购买总费用最少，最少费用为元． 【解析】设型号电脑单价为元，可得：，解方程并检验可得答案；
设型号电脑购买台，购买总费用为元，由计划总费用不超过元，并且要求型电脑数量不能低于台，得，而，根据一次函数的性质可得答案．
本题考查分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式解决问题．25.【答案】解：令，则，
，
当，则，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
设，
，，
，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或；
存在点，使得，，理由如下：
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
过点作交于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
过点作轴交于，
，
，
，
，
，
≌，
，，
；
点关于点的对称点为，
由对称性可知，，
点坐标为或． 【解析】求出点坐标，再由，可得，能求出点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
设，当时，由方程，求出；当时，由方程，能求出；
先求直线的解析式为，可得，则，过点作交于点，由，则，能求出，从而求出是直角三角形，过点作轴交于，证明≌，求出；点关于点的对称点为，由对称性可知，，从而得到点坐标为或．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．26.【答案】证明：点是的中点，
，
四边形是矩形，
，，
≌，
，
，
，
，
，
是的平分线；
解：如图中，延长交的延长线于．

，
，
，，
≌，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
设，
在中，则有，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：如图，延长交的延长线于．

，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
． 【解析】由“”可证≌，可得，可得，由平行线的性质可证，可得结论；
先证垂直平分线段，推出，设，构建方程求出即可解决问题．
先求，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．