2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四组长度的线段中，是成比例线段的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

2.  如图，在四边形中，，，，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
B. 两个菱形一定相似
C. 有一个角等于的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形

4.  如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图中的数据可得的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上长为，则满足的方程是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

7.  如图，与是位似图形，点为位似中心，已知：：，则与的面积之比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8.  已知，如图，平行四边形中，：：，且，那么(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，有一块形状为的斜板余料已知，，，要把它加工成一个形状为▱的工件，使在上，，两点分别在，上，且，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点，，给出下列结论：∽；；；
其中所有正确的结论序号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  已知，则 ______ ．

12.  如图，是的边上一点，请添加一个条件使得与相似，则你添加的条件可以是______只需添加一个符合的条件即可

13.  两个多边形相似，面积的比是：一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为          ．

14.  如图所示，在中，，于，下列四个结论中：
；
；
：：；
．
其中正确的有______ ．

15.  如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为            ．

16.  在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即已知为米，则线段的长为______米．

17.  如图，在菱形中，，若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．
如果，，，求的长；
如果：：，，求的长．

19.  本小题分
如图，已知等腰，，点、分别在、上，且．
求证：∽；
如果，，，求的长．

20.  本小题分
某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，、之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米；已知，，，点、、、在同一水平线上请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计

21.  本小题分
如图，在矩形的边上取一点，连接，使得，在边上取一点，使得，连接过点作于．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发．沿向点移动，设、两点移动后，的面积为
在、两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由；
当运动时间为多少秒时，与相似．

23.  本小题分
如图，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
证明与推断：
求证：四边形是正方形；
推断：的值为______：
探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图所示，延长交于点若，，则______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，并灵活进行运用．

3.【答案】 

【解析】解：、有一个角等于的两个等腰三角形相似，因为只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个菱形一定相似，错误，角不一定相等，本选项不符合题意；
C、有一个角等于的两个等腰三角形相似，错误，角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：．
根据相似图形的定义一一判断即可．
本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，在中，，，，
在、、选项中的三角形都没有的角，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和，
因为，所以选项中的三角形与相似．
故选：．
利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定．
此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

5.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
由，可得出∽，进而得出，解出即可得出结论．
本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，
，
．
故选：．
点是的黄金分割点，且，，则，根据，即可求解．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，点为位似中心，
∽，：：：，
与的面积之比是：．
故选：．
先根据位似的性质得到∽，：：：，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，位似比等于相似比．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟知高相等的三角形面积之比等于底之比．
易证∽，利用相似的性质可求出的面积，再根据高相等的三角形面积之比等于底之比可求出的面积，进而可求出的面积，又因为的面积等于的面积，问题得解．
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
：：，
：：：，
：：，
，，
：：：，
：：，
，
，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
▱的面积为：
故选：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形的高，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出平行四边形的高是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：，是等腰直角三角形，
，，
，，
∽，
故正确；
∽，
，
，
，
，
故正确；
，
，
由得，
，
又，
∽，
，
即，
，
，
故正确，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，，得∽，可说明正确；由∽，得，再利用三角形内角和定理可说明正确；由，，得∽，可说正确．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，
设，，
．
故答案为：．
由于，则可设，，然后把它们分别代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：添加条件：；理由如下：
，，
∽；
故答案为：．
由公共角，再添加，由三角形相似的判定方法即可得出∽．
本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，由两角相等得出三角形相似是常用的判定方法．

13.【答案】或 

【解析】解：面积的比是：，
相似比为：，
若周长为的多边形是较大的多边形，则另一个多边形的周长为，
若周长为的多边形是较小的多边形，则另一个多边形的周长为．
故另一个多边形的周长为或．
故答案为：或．
本题主要考查相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，本题注意要分两种情况讨论．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再分周长为的多边形是较大的多边形和较小的多边形两种情况讨论求解．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，故错误，正确；
，
∽，
，即：：，故正确；
，，
∽，
，
，故正确．
故正确的结论有：．
故答案为：．
根据三角形内角和定理可得，，进而可得，以此可判断；易证∽，利用相似三角形的性质即可判断；证明∽，利用相似三角形的性质即可判断．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

15.【答案】： 

【解析】【分析】
通过证明∽，可得，可求的长，由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
【解答】
解：四边形和四边形均为正方形，
，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
与四边形的面积比为：，
故答案为：：．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
根据，建立方程求解即可．
【解答】
解：，
设，则，
，
，
即，
解得：，舍去，
线段的长为米．
故答案为

17.【答案】 

【解析】解：连接交于，
四边形为菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，，
，
∽，
，即，
解得：，
同理可得：，
，
故答案为：．
连接交于，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，用含的代数式表示、，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

18.【答案】解：．
，
；
．
，
，
． 

【解析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长；
由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出的长，即可得出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

19.【答案】证明：，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
，
． 

【解析】先利用等腰三角形的性质得出，再由可证得∽；
由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

20.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
凌霄塔的高度为米． 

【解析】先证明∽，求出的长，再证明∽即可求出答案．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，

四边形是矩形，
，，
在中，，，
根据勾股定理，得，
四边形是菱形，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识点．
根据矩形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据，即可证得结论；
连接，根据勾股定理求出的长，可得的长，再根据，求出即可．

22.【答案】解：在矩形中，
，，
，，，
，
过点作于点，
则，
根据题意，得 ，
解得：，．
答：的面积等于时，的值为或．

如答图，当时，，
，，，，，
∽，
，即，解得秒；
如答图，当时，，
，，
∽，
，即，解得秒．
综上所述，为秒与秒时，与相似． 

【解析】在矩形中求出对角线的长度，然后表示出、的长度，过点作于点，然后在中表示出的长度，根据面积为，列方程求解．
分与两种情况进行讨论即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答时要注意分类讨论．

23.【答案】四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；
  ；
连接，

由旋转性质知，
在和中，
、，
，
∽，
，
线段与之间的数量关系为；

 

【解析】解：见答案；
由知四边形是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；

见答案；

，点、、三点共线，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
设，则，
则由得，
，
则，，
得，
解得：，即，
故答案为：．
由、结合可得四边形是矩形，再由即可得证；由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
连接，只需证∽即可得；
证∽得，设，知，由得、、，由可得的值．
本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．