北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题

2023/2024学年度第一学期开学检测试卷

高二数学

班级________  姓名________  学号________  成绩________

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．设集合，，，则A，B，C间的关系为（    ）

A．        B．       C．         D．

2．已知，，且，则的坐标为（    ）

A．            B．           C．             D．

3．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（    ）

A．86                B．85.5               C．85                 D．84.5

4．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（    ）

A．1                 B．               C．3                   D．

5．将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（    ）

A．     B．     C．      D．

6．已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（    ）

A．    B．     C．     D．

7．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（    ）

A．平面                     B．平面

C．平面                      D．平面

8．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（    ）

A．充分而不必要条件                       B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                           D．既不充分也不必要条件

9．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为20℃，但当气温上升到31℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T（单位：℃）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时14时中，观的最时约为（    ）（参考数据：）

A．6.7时~11.6时      B．6.7时~12.2时      C．8.7时~11.6时       D．8.7时~12.2时

10．已知函数，给出下列四个结论：

①存在无数个零点；                     ②在上有最大值；

③若，则；     ④区间是的单调递减区间．

其中所有正确结论的序号为（    ）

A．①②③            B．②③④            C．①③               D．①②③④

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．若复数z满足，则________．

12．某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．

13．已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为2，3，，则长方体的体对角线的长等于________；球的表面积等于________．

14．在中，，，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是________．

15．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：

①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面CMN的距离是；

③存在点P，使得；

④面积的最小值是．

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．（本题满分14分）

已知函数，是的一个零点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）请把的解析式化简成的形式；

（Ⅲ）当时，若曲线与直线有2个公共点，求m的取值范围．

17．（本题满分14分）

某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：

经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．

（Ⅰ）求这组样本平均数和方差；

（Ⅱ）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；

（Ⅲ）在第（Ⅱ）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．

18．（本题满分13分）

向量与的夹角为，，，，．

（Ⅰ）请用，t的关系式表示；

（Ⅱ）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．

19．（本题满分15分）

如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，点F在棱PA上．

（Ⅰ）求证：平面CDE；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．

20．（本题满分14分）

在中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．

21．（本题满分15分）

设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表：

，其中，

设，令是，，…，中的最大值．

（Ⅰ）若，，且，求，，及；

（Ⅱ）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值；

（Ⅲ）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．

参考答案

一、选择题

二、填空题

11．5    12．30    13．4，（前3后2）    14．即可    15．①③④

三、解答题

16．解：（Ⅰ）由题设．

所以．

因为，所以．          2分

所以．

所以．          4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

．          8分

（Ⅲ）因为，所以．

于是，当且仅当，即时，取得最大值1；

当且仅当，即时，取得最小值．

又，即时，．          12分

所以m的取值范围是．          14分

17．解：（Ⅰ）样本平均值

样本方差．          6分

（Ⅱ）估计改进后该厂生产的产品评分的平均数，

方差．          10分

（Ⅲ）可以认为是一等品．因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为，所以可以认为这10件产品平均等级为一等品不一定是一等品．

因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分及以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．          14分

18．解：（Ⅰ）∵，

∴，

∴．          7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，

且，故．          13分

19．解：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，．

因为平面CDE，平面CDE，

所以平面CDE．

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以．

因为平面CDE，平面CDE，

所以平面CDE．

又因为平面PAB，平面PAB，．

所以平面平面CDE．

因为平面PAB，

所以平面CDE．          5分

（Ⅱ）因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，

所以，．

又因为ABCD是矩形，，

所以AD，AB，PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，．

设平面PEC的一个法向量为，则

，即．

令，则，．

于是．

取平面PEA的法向量为．

则．

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值是．          10分

（Ⅲ）令线段AF的长为t，则，．

所以，

因为点F到平面PCE的距离．

所以，即．

解得或（舍）．

所以线段AF的长为．          15分

20．解：（Ⅰ）由已知可得：，∴，而，∴．          5分

（Ⅱ）选①②：

∵，，

∴；

由正定理得，∴；

故．          14分

选①③：

∵，，

∴；

设线段CD是AB边上的高的高，而，∴；

∴；

故．          14分

选②③，第二问得0分．

21．解：（Ⅰ），，，．          4分

（Ⅱ）设使得，

则，

所以．

所以至少有3个元素个数相同的非空子集．

当时，，其非空子集只有自身，不符题意．

当时，，其非空子集只有，，，不符题意．

当时，，元素个数为1的非空子集有，，，

元素个数为2的非空子集有，，．

当时，，不符题意．

当时，，不符题意．

当时，，令，，，

则，．

所以n的最小值为4．          9分

（Ⅲ）由题可知，，记为集合中的元素个数，

则为数表第j列之和．

因为是数表第i行之和，

所以．

因为，所以．

所以．

当，，，，

，，时，，

．所以的最小值为3．          15分