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广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期 开学考数学试卷
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这是一份广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期 开学考数学试卷，共18页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
福田区红岭教育集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2•5x3
3． 用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6 C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
4． 一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5． 一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
6． 下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
7． 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8． 如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
9． 已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4
C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
10．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；③DF2＋BE2＝2OE2；④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：2x3－18x＝ ．
12．已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
13．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为 ．
14．如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）； （2）x2－4x＋1＝0．
17．（8分）（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
20．（8分）某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
21．（9分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
22．（8分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 ，位置关系是 ；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
红岭教育集团九年级开学考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：A．
2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2•5x3
【解答】解：A．x2－4x＋4＝（x－2）2，原题干因式分解错误，故A不符合题意；
B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故B不符合题意；
C．x2－4＝（x＋2）（x－2），从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D．15x5不属于多项式，故D不符合题意；
故选：C．
3．用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6 C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
【解答】解：x2－4x－10＝0，
移项，得x2－4x＝10，
配方，得x2－4x＋4＝10＋4，
即（x－2）2＝14．
故选：C．
4．一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：Δ＝b2－4ac＝22－4×（－1）×（－1）＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5．一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
【解答】解：当x≤1时，kx＋b≥2x，
所以不等式kx＋b≥2x的解集为x≤1．
故选：D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
【解答】解：若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形有6条边，它的一个外角等于360°÷6＝60°，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
7．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是（x＋50）元，
根据题意得，．
故选：C．
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
【解答】解：对角线AC，BD交于点O，则△ABO为直角三角形
则AO＝OC＝3．BO＝DO＝4，
∴AB＝＝5cm，
∴菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，
即S＝×6cm×8cm＝5cm×CE，
∴CE＝4.8cm，
故选：A．
9．已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4 C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
【解答】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘x－3得，x＋3a＝4（x－3），
去括号得，x＋3a＝4x－12，
移项得，x－4x＝－12－3a，
合并同类项得，－3x＝－12－3a，
系数化为1得x＝a＋4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a＋4≥0，a＋4≠3，
解得a≥－4且a≠－1，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：
①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；
③DF2＋BE2＝2OE2；
④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
在正方形ABCD中，OF≠OD即OF≠OB，所以△EOF不全等于△BOC；故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，OE＝OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2，
∵∠FOE＝90°，
∴OE2＋OF2＝EF2，
又∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2＋BE2＝CE2＋CF2＝2OE2，故③正确；
由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：2x3－18x＝ 2x（x＋3）（x－3） ．
【解答】解：2x3－18x
＝2x（x2－9）
＝2x（x＋3）（x－3）．
故答案为：2x（x＋3）（x－3）．
12．已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 －5 ．
【解答】解：把x＝－1代入2x2－mx＋3＝0，得2＋m＋3＝0，
解得，m＝－5．
故答案为：－5．
13．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为 3 ．
【解答】解：原分式方程变形为 2－x＋a＝7（x－5），
∵分式方程有增根，
∴x－5＝0，x＝5为增根，
将x＝5代入上式，
2－5＋a＝0，
∴a＝3．
故答案为3．
14．如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 16 ．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴AB＋AD＝16，O为BD的中点，
∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋DE＝AB＋AD＝16，
即△ABE的周长为16，
故答案为：16．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【解答】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH∥AF，且，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴．
故答案为：．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）；
（2）x2－4x＋1＝0．
【解答】解：（1）∵（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）2－3（x－1）＝0，
∴（x－1）（x－1－3）＝0，
∴（x－1）（x－4）＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
x1＝4，x2＝1．
（2）∵x2－4x＋1＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，．
17．（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
【解答】解：（1）解不等式①得，x≥－1，
解不等式②得，x＞0，
所以不等式组的解集为x＞0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
（2）解：
＝•
＝•
＝•
＝－2（a＋3）
＝－2a－6，
当a＝－2时，原式＝－2×（－2）－6＝－2．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 （－3，0） ．
【解答】解：（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（－3，0）
故答案为：（－3，0）．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
【解答】解：（1）设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是（x＋5）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋5＝50＋5＝55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
（2）设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了（100－y）件甲款T恤，
根据题意得：（100×0.9－50）（100－y）＋（100－55）y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
21．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC－AB'＝2－2；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°－90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG＋∠BCG＝∠CBG＋∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE－BG＝4－2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC＋AE'＝2＋2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2＋2．
22．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 DE＝BC ，位置关系是 DE∥BC ；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
【解答】解：（1）由题可知，D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE＝BC；
故答案为：DE＝BC，DE∥BC；
（2）如图，取AC的中点F，连接EF、BF，
∵E、F分别是AD和AC的中点，∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，
在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；
在△BEF中，BF＋EF＞BE，
∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，
即此时BE＝BF＋EF＝2＋2，
答：BE的最大值为2＋2；
（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，
∵CM⊥AB，AB∥CD，
∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCM为矩形，
∵AD＝CD．∴矩形ADCM为正方形，∴CD＝CM，
在△CMB与△CDN中，，
∴△CMB≌△CDN（SAS），
∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，
∴∠BCN＝∠MCD＝90°，
在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，
∴BN＝＝20，
在Rt△CDN中，点P为CN中点，∴DP＝CN＝10，
在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，
∴OP为△BCN的中位线，
∴OP∥BN且OP＝BN＝10，
在△OPD中，OP＋PD＞OD，∴当O、P．D三点共线的时OD最大，
即此时OD＝OP＋PD＝10＋10，
答：绿色长廊OD最长为（10＋10）米．
福田区红岭教育集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2•5x3
3． 用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6 C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
4． 一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5． 一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
6． 下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
7． 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8． 如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
9． 已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4
C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
10．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；③DF2＋BE2＝2OE2；④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：2x3－18x＝ ．
12．已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
13．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为 ．
14．如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）； （2）x2－4x＋1＝0．
17．（8分）（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
18．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
20．（8分）某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
21．（9分）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
22．（8分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 ，位置关系是 ；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
红岭教育集团九年级开学考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：A．
2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．15x5＝3x2•5x3
【解答】解：A．x2－4x＋4＝（x－2）2，原题干因式分解错误，故A不符合题意；
B．（x＋1）2＝x2＋2x＋1，从左边到右边的变形是整式乘法计算，故B不符合题意；
C．x2－4＝（x＋2）（x－2），从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D．15x5不属于多项式，故D不符合题意；
故选：C．
3．用配方法解方程x2－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x＋2）2＝14 B．（x＋2）2＝6 C．（x－2）2＝14 D．（x－2）2＝6
【解答】解：x2－4x－10＝0，
移项，得x2－4x＝10，
配方，得x2－4x＋4＝10＋4，
即（x－2）2＝14．
故选：C．
4．一元二次方程－x2＋2x－1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：Δ＝b2－4ac＝22－4×（－1）×（－1）＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5．一次函数y1＝kx＋b和y2＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≤2 C．x＜1 D．x≤1
【解答】解：当x≤1时，kx＋b≥2x，
所以不等式kx＋b≥2x的解集为x≤1．
故选：D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°
【解答】解：若a＞b，则1－2a＜1－2b，故A是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形有6条边，它的一个外角等于360°÷6＝60°，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
7．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是（x＋50）元，
根据题意得，．
故选：C．
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（ ）
A．4.8cm B．9.6cm C．5cm D．10cm
【解答】解：对角线AC，BD交于点O，则△ABO为直角三角形
则AO＝OC＝3．BO＝DO＝4，
∴AB＝＝5cm，
∴菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，
即S＝×6cm×8cm＝5cm×CE，
∴CE＝4.8cm，
故选：A．
9．已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥－4 B．a＞－4 C．a≥－4且a≠－1 D．a＞－4且a≠－1
【解答】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘x－3得，x＋3a＝4（x－3），
去括号得，x＋3a＝4x－12，
移项得，x－4x＝－12－3a，
合并同类项得，－3x＝－12－3a，
系数化为1得x＝a＋4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a＋4≥0，a＋4≠3，
解得a≥－4且a≠－1，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：
①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；
③DF2＋BE2＝2OE2；
④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
在正方形ABCD中，OF≠OD即OF≠OB，所以△EOF不全等于△BOC；故②错误；
∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，OE＝OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2，
∵∠FOE＝90°，
∴OE2＋OF2＝EF2，
又∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2＋BE2＝CE2＋CF2＝2OE2，故③正确；
由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：2x3－18x＝ 2x（x＋3）（x－3） ．
【解答】解：2x3－18x
＝2x（x2－9）
＝2x（x＋3）（x－3）．
故答案为：2x（x＋3）（x－3）．
12．已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 －5 ．
【解答】解：把x＝－1代入2x2－mx＋3＝0，得2＋m＋3＝0，
解得，m＝－5．
故答案为：－5．
13．若关于x的分式方程＝7有增根，则a的值为 3 ．
【解答】解：原分式方程变形为 2－x＋a＝7（x－5），
∵分式方程有增根，
∴x－5＝0，x＝5为增根，
将x＝5代入上式，
2－5＋a＝0，
∴a＝3．
故答案为3．
14．如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为 16 ．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴AB＋AD＝16，O为BD的中点，
∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋DE＝AB＋AD＝16，
即△ABE的周长为16，
故答案为：16．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【解答】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH∥AF，且，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴．
故答案为：．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x－1）2＝3（x－1）；
（2）x2－4x＋1＝0．
【解答】解：（1）∵（x－1）2＝3（x－1），
∴（x－1）2－3（x－1）＝0，
∴（x－1）（x－1－3）＝0，
∴（x－1）（x－4）＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
x1＝4，x2＝1．
（2）∵x2－4x＋1＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，．
17．（1）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）先化简，再求值：，其中a＝－2．
【解答】解：（1）解不等式①得，x≥－1，
解不等式②得，x＞0，
所以不等式组的解集为x＞0．
这个不等式组的解集在数轴上表示如图：
（2）解：
＝•
＝•
＝•
＝－2（a＋3）
＝－2a－6，
当a＝－2时，原式＝－2×（－2）－6＝－2．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 （－3，0） ．
【解答】解：（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（－3，0）
故答案为：（－3，0）．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
【解答】解：（1）设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是（x＋5）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋5＝50＋5＝55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
（2）设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了（100－y）件甲款T恤，
根据题意得：（100×0.9－50）（100－y）＋（100－55）y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
21．【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．
【解答】解：（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝2，
由旋转的性质得：AB'＝AB＝2，
∴CB′＝AC－AB'＝2－2；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°－90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG＋∠BCG＝∠CBG＋∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE－BG＝4－2＝2，
∴CE＝＝＝2；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短＝2；
当E‘落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长＝AC＋AE'＝2＋2，
∴线段CE′长度的取值范围是2≤CE'≤2＋2．
22．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE，则DE与BC的数量关系是 DE＝BC ，位置关系是 DE∥BC ；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，CD＝4，E为AD中点，连接BE，求BE的最大值；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，其中BC＝20米，AD＝CD，AD⊥CD，AB∥CD，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？
【解答】解：（1）由题可知，D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE＝BC；
故答案为：DE＝BC，DE∥BC；
（2）如图，取AC的中点F，连接EF、BF，
∵E、F分别是AD和AC的中点，∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥DC且EF＝CD＝×4＝2，
在Rt△ABF中，AB＝4，AF＝AC＝2：BF＝＝2；
在△BEF中，BF＋EF＞BE，
∴当B、E、F三点共线的时候BE最大，
即此时BE＝BF＋EF＝2＋2，
答：BE的最大值为2＋2；
（3）过C作CM⊥AB于M点，在AD上截取DN使DN＝BM，连接BN，取CN中点P，连接DP．OP，
∵CM⊥AB，AB∥CD，
∴∠CMA＝∠MCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCM为矩形，
∵AD＝CD．∴矩形ADCM为正方形，∴CD＝CM，
在△CMB与△CDN中，，
∴△CMB≌△CDN（SAS），
∴CN＝CB，∠BCM＝∠NCD，
∴∠BCN＝∠MCD＝90°，
在Rt△BCN中，BC＝CN＝20，
∴BN＝＝20，
在Rt△CDN中，点P为CN中点，∴DP＝CN＝10，
在Rt△BCN中，点P、O分别为CN、CB中点，
∴OP为△BCN的中位线，
∴OP∥BN且OP＝BN＝10，
在△OPD中，OP＋PD＞OD，∴当O、P．D三点共线的时OD最大，
即此时OD＝OP＋PD＝10＋10，
答：绿色长廊OD最长为（10＋10）米．
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