湖南省长沙市弘益高级中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市弘益高级中学高二第一学期入学考试数学试卷

时量：120分钟    满分150分

一、单选题（本大题共8个小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．从2，3，4，5，6中任取2个不同的数，则取出的两个数之和是3的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．设：或；：或，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．3 D．5

6．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

7．直线：，：，若，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．或1

8．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4个小题，共20分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，未选全得2分，选错得0分）

9．关于直线：，则下列结论正确的是（    ）

A．倾斜角为  B．斜率为

C．在轴上的截距为  D．在轴上的截距为

10．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．的共轭复数是  B．的虚部是

C．  D．

11．下列说法正确的是（    ）

A．抽样调查具有花费少、效率高的特点

B．数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9

C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度

D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为

12．如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则（    ）

A．是平面的一个法向量

B．直线平面

C．异面直线与垂直

D．存在点，使得直线与平面所成的角为

三、填空题（本大题共4个小题，共20分．）

13．同时投掷2枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是________．

14．已知，则的值为________．

15．已知点和点到直线的距离相等，则________．

16．已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知的三个顶点是，，，求：

（1）边所在直线的一般方程；

（2）边的垂直平分线所在直线的方程．

18．（12分）平面给定三个向量，，．

（1）若，求的值；

（2）若向量与向量共线，求实数的值．

19．（12分）中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．

20．（12分）某校高三年级甲班50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，．其中，且．（说明：数学成绩满分为150分）

（1）根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；

（2）求数学成绩的第80百分位数．

21．（12分）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求点到平面的距离．

22．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，

（1）证明：；

（2）求与平面所成的角的正弦值．

参考答案

1．B  【详解】．故选：B

2．D  【详解】∵，∴对应的点为，在第四象限，故选：D．

3．C  【详解】从2，3，4，5，6中任取2个不同的数的可能结果有，，，，，，，，，共10个，

其中两个数之和是3的倍数的有，，共3个结果，

所以取出的两个数之和是3的倍数的概率．故选：C

4．A  【详解】根据题意可得：，：，

易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要条件．

故选：A

5．D  【详解】因为，，且，所以，所以，

所以，，所以．故选：D．

6．A  【详解】设坐标原点为，由角的终边经过点，

则，故，，则

，故选：A

7．C  【详解】，即，解得或．故选：C．

8．D  【详解】∵函数是上的奇函数，且当时，，

∴当时，则，

又，即，又，∴，

∴当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递增，

的图象如下所示：

∴函数在区间上单调递增，

∵，∴，

即，∴，

∴，∴．故选：D．

9．BD  【详解】直线：，即，

所以直线的斜率为，倾斜角为，在轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误，

令，得，所以直线在轴上的截距为，故D正确．故选：BD．

10．AD  【详解】对于选项A：的共轭复数是，故A正确；

对于选项B：的虚部是1，故B错误；

对于选项C：，故C错误；

对于选项D：，故D正确；故选：AD．

11．AC  【详解】对于A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；

对于B：数据从小到大排列为2、3、3、5、9、9，所以中位数为，众数为3和9，故B错误；

对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；

对于D：数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故D错误；

故选：AC

12．ABD  【详解】由题意可得，，，，

，，，，

因为是侧面的中心，是底面的中心，所以，，

对于A，因为，，，

所以，，

所以，，所以是平面的一个法向量，所以A正确；

对于B，因为平面，所以是平面的一个法向量，

因为，所以，所以，

因为平面，所以直线平面，所以B正确；

对于C，因为，

所以与不垂直，所以异面直线与不垂直，所以C错误；

对于D，设，则，由选项A可知是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，

所以，

若直线与平面所成的角为，则，解得，

所以存在点，使得直线与平面所成的角为，所以D正确，故选：ABD

13．  【详解】同时投掷2枚质地均匀的骰子，基本事件有：

，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，共36种，

其中点数相同的有，，，，，，共6种，所以所得点数相同的概率是．

故答案为：

14．  【详解】由，得，所以，解得，

故答案为：

15．3或  【详解】因为点和点到直线的距离相等，

所以由点到直线的距离公式可得：，

解得或，故答案为：3或

16．  【详解】函数存在3个零点，

等价于与有3个交点．

画出函数和的图象，如下图．

由图知，要使函数和有3个交点，

则，即．故答案为：

17．（1） （2）

【详解】（1）由直线方程的两点式得：，

∴直线的一般方程为；

（2）显然边的中点坐标为．∵边所在直线的斜率为，

∴直线的斜率为．∴直线的方程为，即．

18．（1） （2）

【详解】（1）由题意可知，，

所以，

又，所以，解得，所以．

（2）由题意可知，，

因为向量与向量共线，

所以，即，解得．

19．（1） （2）6

【详解】（1）中，已知，

由正弦定理可得，

∵，∴

，中，，∴，∴．

（2），的面积为，∴，解得．

由余弦定理可得：化为．

联立，解得   ∴，所以周长为6．

20．（1）117.8分 （2）132.5

【详解】（1）因为，且，所以，可得，

由频率分布直方图，可得

所以，解得，所以、，

所以估计甲班数学成绩的平均分为：

（分）．

（2）设第80百分位数是，

由，

得，则

解得．

21．（1）证明见解析； （2）．

【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，，

如图，由，得四边形是菱形，

且，

因为，分别为，的中点，则，，

于是四边形是平行四边形，有，

而平面，平面，所以平面．

（2）由（1）知，，平面，平面，则平面，

于是点到平面的距离等于点到平面的距离，

由平面，，平面，得，，而，

则，底边上的高

，

于是的面积，

而，

由，得，即，解得，

所以点到平面的距离是．

22．（1）证明见解析 （2）

【详解】（1）证明：取中点，连结，，

因为是等边三角形，所以．

又因为，，所以，

因为，所以是等边三角形，所以，

又因为，且，平面，所以平面，

因为平面，所以．

（2）解：由平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴和轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

在中由余弦定理：，

因为，，可得，解得，

可得，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量，则，

取，可得，，所以，

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成的角的正弦值为．