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广东省深圳市光明区李松蓢学校2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案）
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这是一份广东省深圳市光明区李松蓢学校2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了如图，下列说法错误的是，已知关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
光明区李松蓢学校2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
2．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
4．下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
5．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
9．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：xy2﹣4x＝ ．
12．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 ．
13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 ；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 ．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
21．数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
a
1
0
1
2
3
…
其中，表格中a的值为 ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 ；
②当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ．
22．在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 ．
光明区李松蓢学校九年级开学考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选：D．
2．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
3．若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣6＜y﹣6，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴5x＜5y，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
故C不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣＞﹣，
故D符合题意；
故选：D．
4．下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
【解答】解：A，xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
C、2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1右边不是几个整式的乘积，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝3，
∴BC＝3CE，
∴CE＝BE＝×12＝3，
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分，故选项C符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：由作图得：DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
故选：C．
8．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，
解得：k＞1且k≠2，
故选：D．
9．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，且原计划每天修建盲道x米，
∴实际每天修建盲道（x+10）米．
根据题意得：﹣＝2．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长AB，DC交于E，
∵∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝4，∠E＝60°，
∴AE＝5，DE＝10，
∴AD＝＝5，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
12．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 120 ．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120．
故答案为：120．
13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 2023 ．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+3a﹣1＝0，
即a2+3a＝1，
∴2a2+6a+2021＝2（a2+3a）+2021＝2×1+2021＝2023．
故答案为：2023．
14．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ 90° ．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠BAC＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由旋转得∠E＝∠C＝40°，∠DAE＝∠BAC＝75°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠EAC＝∠BAD＝75°﹣∠CAD，
∴∠EAC＝50°，
∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝40°+50°＝90°，
故答案为：90°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
【解答】解：过D点分别作DG⊥BC于点G，DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∴∠DGC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形BGDF为矩形，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴BG＝DF，DG＝FB，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB，
在△ABC和△DFB中，
，
∴△ABC≌△DFB（AAS），
∴FD＝AB＝4，BC＝FB，
∴BG＝4，
在Rt△FAD中，AD＝5，
∴AF＝，
∴BF＝AB+AF＝4+3＝7，
∴DG＝BF＝BC＝7，
∴CG＝BC﹣BG＝7﹣4＝3，
在Rt△DCG中，CD＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
【解答】解：原式＝
＝，
当x＝4时，原式＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 （1，0） ；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 （0，7） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是（0，7）．
故答案为：（0，7）．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
【解答】解：（1）设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是（x+5）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5＝50+5＝55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
（2）设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了（100﹣y）件甲款T恤，
根据题意得：（100×0.9﹣50）（100﹣y）+（100﹣55）y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
21．数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
a
1
0
1
2
3
…
其中，表格中a的值为 2 ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ ﹣1 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 0 ；
②当 x＞﹣1 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ﹣3＜x＜0 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜ ．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2，
∴a＝2．
函数图象如图所示．
故答案为：2；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，
①当x＝﹣1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
故答案为：﹣1，x＞﹣1；
（3）观察图象，不等式的解集是﹣3＜x＜0；
故答案为：﹣3＜x＜0；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是﹣1＜k＜，
故答案为：﹣1＜k＜．
22．在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 AB＝CF+BD ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 或 ．
【解答】解：（1）AB＝CF+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠CBA＝∠CBD＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠FCE+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，∴∠BAF＝∠FCE，∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BF＝BD，
∵CB＝CF+BF，∴CB＝CF+BD，∴AB＝CF+BD，
故答案为：AB＝CF+BD．
（2）CF＝AB+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD；
（3）①如图，点D在线段AB的延长线上，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠CBA＝∠CBD＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠FCE+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，∠BCD＝∠ECF，∴∠BAF＝∠BCD，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BF＝BD，
∵BF＝CF+BC，∴BD＝CF+BC，∴BD＝CF+AB，
∵AB＝3，，∴；
②如图，点D在线段AB上，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD，
∵AB＝3，，∴．
故答案为：或．
光明区李松蓢学校2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
2．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
4．下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
5．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
9．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：xy2﹣4x＝ ．
12．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 ．
13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 ；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 ．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
21．数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
a
1
0
1
2
3
…
其中，表格中a的值为 ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 ；
②当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ．
22．在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 ．
光明区李松蓢学校九年级开学考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选：D．
2．“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
3．若x＜y，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣6＜y﹣6，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴5x＜5y，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
故C不符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣＞﹣，
故D符合题意；
故选：D．
4．下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2
B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）
D．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
【解答】解：A，xy2（x﹣1）＝x2y2﹣xy2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
C、2023a2﹣2023＝2023（a+1）（a﹣1）右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1右边不是几个整式的乘积，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝3，
∴BC＝3CE，
∴CE＝BE＝×12＝3，
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直
D．菱形的对角线互相垂直
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分，故选项C符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：由作图得：DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
故选：C．
8．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，
解得：k＞1且k≠2，
故选：D．
9．根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道x米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，且原计划每天修建盲道x米，
∴实际每天修建盲道（x+10）米．
根据题意得：﹣＝2．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝4，CD＝6，∠A＝90°，∠B＝∠C＝120°，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长AB，DC交于E，
∵∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝4，∠E＝60°，
∴AE＝5，DE＝10，
∴AD＝＝5，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
12．如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则菱形ABCD的面积为 120 ．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120．
故答案为：120．
13．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 2023 ．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+3a﹣1＝0，
即a2+3a＝1，
∴2a2+6a+2021＝2（a2+3a）+2021＝2×1+2021＝2023．
故答案为：2023．
14．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ 90° ．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠BAC＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由旋转得∠E＝∠C＝40°，∠DAE＝∠BAC＝75°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠EAC＝∠BAD＝75°﹣∠CAD，
∴∠EAC＝50°，
∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝40°+50°＝90°，
故答案为：90°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 ．
【解答】解：过D点分别作DG⊥BC于点G，DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∴∠DGC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形BGDF为矩形，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴BG＝DF，DG＝FB，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB，
在△ABC和△DFB中，
，
∴△ABC≌△DFB（AAS），
∴FD＝AB＝4，BC＝FB，
∴BG＝4，
在Rt△FAD中，AD＝5，
∴AF＝，
∴BF＝AB+AF＝4+3＝7，
∴DG＝BF＝BC＝7，
∴CG＝BC﹣BG＝7﹣4＝3，
在Rt△DCG中，CD＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
【解答】解：原式＝
＝，
当x＝4时，原式＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为 （1，0） ；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 （0，7） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为（4，2），则B3坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是（0，7）．
故答案为：（0，7）．
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
20．某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤，用8800元购进了一批乙款T恤，已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍，购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元．
（1）购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元？
（2）老板把这两种T恤的标价都定为每件100元，甲款T恤打九折销售，乙款T恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种T恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件？
【解答】解：（1）设购进甲款T恤的单价是x元，则购进乙款T恤的单价是（x+5）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5＝50+5＝55．
答：购进甲款T恤的单价是50元，乙款T恤的单价是55元；
（2）设这段时间按标价销售了y件乙款T恤，则销售了（100﹣y）件甲款T恤，
根据题意得：（100×0.9﹣50）（100﹣y）+（100﹣55）y≥4200，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件．
21．数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
（1）作出函数y＝|x+1|的图象．
①列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
3
a
1
0
1
2
3
…
其中，表格中a的值为 2 ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x＝ ﹣1 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 0 ；
②当 x＞﹣1 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；
（3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ﹣3＜x＜0 ；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜ ．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2，
∴a＝2．
函数图象如图所示．
故答案为：2；
（2）观察函数y＝|x+1|的图象，
①当x＝﹣1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
故答案为：﹣1，x＞﹣1；
（3）观察图象，不等式的解集是﹣3＜x＜0；
故答案为：﹣3＜x＜0；
（4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是﹣1＜k＜，
故答案为：﹣1＜k＜．
22．在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．
（1）【探索发现】
如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为 AB＝CF+BD ；
（2）【拓展提升】
如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【灵活应用】
当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为 或 ．
【解答】解：（1）AB＝CF+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠CBA＝∠CBD＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠FCE+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，∴∠BAF＝∠FCE，∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BF＝BD，
∵CB＝CF+BF，∴CB＝CF+BD，∴AB＝CF+BD，
故答案为：AB＝CF+BD．
（2）CF＝AB+BD，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD；
（3）①如图，点D在线段AB的延长线上，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠CBA＝∠CBD＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠FCE+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠AFB，∠BCD＝∠ECF，∴∠BAF＝∠BCD，
∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BF＝BD，
∵BF＝CF+BC，∴BD＝CF+BC，∴BD＝CF+AB，
∵AB＝3，，∴；
②如图，点D在线段AB上，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∴∠BCD+∠CDB＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠CDB＝∠ADE，∴∠BCD＝∠DAE，∴△CBD≌△ABF（ASA），∴BD＝BF，
∵CF＝CB+BF，∴CF＝AB+BD，
∵AB＝3，，∴．
故答案为：或．
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