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广西南宁市天桃实验学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷（含答案）
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这是一份广西南宁市天桃实验学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西南宁市兴宁区天桃实验学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
3．（3分）下列各项调查中，适合全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日体育运动的时长
C．发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂平板电脑的使用寿命
4．（3分）下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果a＞b，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
7．（3分）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（3分）一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）
9．（3分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．71° B．59° C．58° D．50°
10．（3分）甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近5次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论不正确的是（ ）
A．甲的第3次成绩与第4次成绩相同
B．甲、乙两人第3次成绩相同
C．甲的第4次成绩比乙的第4次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
11．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分）
13．（2分）“对顶角相等”是一个 命题（填“真”或“假”）．
14．（2分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 性．
15．（2分）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为 °．
16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，则a的值为 ．
17．（2分）已知，则 ．
18．（2分）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 个橘子．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得△A1B1C1．解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求出△A1B1C1的面积．
22．（10分）为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题：
成绩分组
频数
71≤x＜76
2
76≤x＜81
8
81≤x＜86
12
86≤x＜91
10
91≤x＜96
6
96≤x＜101
2
（1）本次活动抽取的学生人数是 ，频数分布表的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？
23．（10分）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
24．（10分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
25．（10分）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
26．（10分）【问题背景】小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：（2）当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
2023-2024学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断．
【解答】解：B、C、D中∠1与∠2不是对顶角，A中∠1与∠2互为对顶角，
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角，掌握对顶角概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解题的关键．
2．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可．
【解答】解：4的算术平方根是：，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
3．（3分）下列各项调查中，适合全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日体育运动的时长
C．发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂平板电脑的使用寿命
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解太原市九年级学生每日体育运动的时长，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况，适合全面调查，故C符合题意；
D、检测一批新出厂平板电脑的使用寿命，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4．（3分）下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析即可得到答案．
【解答】解：A、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
B、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；
C、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
5．（3分）如果a＞b，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2＞b+2正确，不符合题意；
B、a﹣2＞b﹣2正确，不符合题意；
C、应该是﹣2a＜﹣2b，此选项不正确，符合题意；
D、3a＞3b正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，根据SSS证△ODC≌△O′D′C′即可．
【解答】解：从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7．（3分）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】三角形第三边的长度大于两边差，且小于两边和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
则6﹣2＜x＜6+2，
故4＜x＜8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解并掌握三角形的三边关系．
8．（3分）一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
【解答】解：∵小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，
∴点B的坐标是（﹣2+4，1），即（2，1），
故选：B．
【点评】此题考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．（3分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．71° B．59° C．58° D．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵三角形内角和是180°，
∴a、b边的夹角度数为：180°﹣71°﹣50°＝59°，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠α等于59°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近5次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论不正确的是（ ）
A．甲的第3次成绩与第4次成绩相同
B．甲、乙两人第3次成绩相同
C．甲的第4次成绩比乙的第4次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
【分析】直接利用折线统计图得出甲、乙的成绩进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
A、甲的第三次成绩与第四次成绩相同，故此选项正确．不符合题意；
B、第三次测试，甲、乙两人的成绩相同，故此选项正确，不合题意；
C、第四次测试，甲的成绩比乙的成绩少2分，故此选项正确，不合题意；
D、五次训练，乙的成绩不是每次都比甲的成绩高，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，正确得出甲乙的成绩是解题关键．
11．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y＝19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A．
【点评】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
12．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
【分析】根据题意可得S△ABD＝S△BCD＝12，再根据BE＝2ED可得S△AED＝2S△AED即可解答．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积是24cm2，
∴S△ABD＝S△BCD＝12，
∵BE＝2ED，
∴S△AED＝2S△AED，
∵S△AED+S△AED＝S△ABD，
∴△AED的面积是4，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分）
13．（2分）“对顶角相等”是一个 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据对顶角相等、真命题的概念解答．
【解答】解：对顶角相等是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（2分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 稳定 性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
15．（2分）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为 120 °．
【分析】由平行线的性质得到∠1+∠2＝180°，即可求出∠2＝120°．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠1+∠2＝180°．
16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】把方程的解代入即可求a．
【解答】解：把x＝3，y＝1代入方程得：
9+a＝8，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】遇到题目中已知方程的解类似题目，思路就是把方程的解代入原方程中，求出参数．
17．（2分）已知，则 1.01 ．
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝＝1.01；
故答案为：1.01．
【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
18．（2分）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 37 个橘子．
【分析】设共x个孩子分橘子，则共有（4x+9）个橘子，根据“若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个”，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可确定x的值，再将其代入4x+9中，即可求出结论．
【解答】解：设共x个孩子分橘子，则共有（4x+9）个橘子，
根据题意得：，
解得：6＜x＜，
又∵x为正整数，
∴x＝7，
∴4x+9＝4×7+9＝37，
∴共有37个橘子．
故答案为：37．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
【分析】根据乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义，进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义准确计算．
20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可．
【解答】解：解不等式5x＞x﹣10，得：x＞﹣2.5，
解不等式3﹣x≥，得：x≤3，
所以不等式组的解集是﹣2.5＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．
21．（10分）如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得△A1B1C1．解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用坐标系写出点的坐标即可；
（2）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣4，﹣2），C（2，﹣2）；
（2）如图所示；
（3）△A1B1C1的面积：×6×3＝9．
【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
22．（10分）为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题：
成绩分组
频数
71≤x＜76
2
76≤x＜81
8
81≤x＜86
12
86≤x＜91
10
91≤x＜96
6
96≤x＜101
2
（1）本次活动抽取的学生人数是 40 ，频数分布表的组距是 5 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出调查的学生人数，再根据直方图中的数据，可以计算出组距；
（2）根据频数分布表中的数据，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出分数x在86≤x＜96范围内的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次活动抽取的学生人数是：2+8+12+10+6+2＝40，
频率分布表的组距是76﹣71＝5，
故答案为：40，5；
（2）由频数分布表可知，
91≤x＜96这一组的频数是6，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）320×＝128（人），
答：估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是128人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据SSS可证明△ABO≌△CDO；
（2）由全等三角形的性质得出∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，由平行线的性质得出∠C＝∠AOC＝30°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS）；
（2）解：∵△ABO≌△CDO，
∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠AOC＝30°，
∴∠A＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明△ABO≌△CDO是解题的关键．
24．（10分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．”列方程组即可解决；
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元，”得不等式90m+60（100﹣m）≤7200即可解决．
【解答】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，
90m+60（100﹣m）≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球，．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
25．（10分）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 3 ；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解；
（2）由①×3+②可得结论；
（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1），
则①+②得3x+3y＝9，
∴x+y＝3；
①﹣②得x﹣y＝﹣1，
故答案为：﹣1，3；
（2），
则①×3+②得：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，
根据题意得：，
则①×30﹣2×20得10x+10y+10z＝70，
答：购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
26．（10分）【问题背景】小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：（2）当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
【分析】【问题背景】（1）根据平行线的性质可得结论；
【尝试应用】（2）分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【拓展创新】（3）由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论．
【解答】解：【问题背景】（1）∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】（2）当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2﹣1中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°﹣（∠OAE+∠OEA）＝120°，
综上所述，∠AGE＝60°或120°；
【拓展创新】（3）由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（180°﹣α）＝60°﹣α．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB，
当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（α﹣180°）+180°＝120°+α．
【点评】本题考查三角形的内角和与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键．
广西南宁市兴宁区天桃实验学校2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
3．（3分）下列各项调查中，适合全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日体育运动的时长
C．发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂平板电脑的使用寿命
4．（3分）下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果a＞b，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
7．（3分）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（3分）一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）
9．（3分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．71° B．59° C．58° D．50°
10．（3分）甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近5次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论不正确的是（ ）
A．甲的第3次成绩与第4次成绩相同
B．甲、乙两人第3次成绩相同
C．甲的第4次成绩比乙的第4次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
11．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分）
13．（2分）“对顶角相等”是一个 命题（填“真”或“假”）．
14．（2分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 性．
15．（2分）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为 °．
16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，则a的值为 ．
17．（2分）已知，则 ．
18．（2分）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 个橘子．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得△A1B1C1．解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求出△A1B1C1的面积．
22．（10分）为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题：
成绩分组
频数
71≤x＜76
2
76≤x＜81
8
81≤x＜86
12
86≤x＜91
10
91≤x＜96
6
96≤x＜101
2
（1）本次活动抽取的学生人数是 ，频数分布表的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？
23．（10分）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
24．（10分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
25．（10分）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
26．（10分）【问题背景】小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：（2）当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
2023-2024学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断．
【解答】解：B、C、D中∠1与∠2不是对顶角，A中∠1与∠2互为对顶角，
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角，掌握对顶角概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解题的关键．
2．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可．
【解答】解：4的算术平方根是：，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
3．（3分）下列各项调查中，适合全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日体育运动的时长
C．发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂平板电脑的使用寿命
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解国内观众对春节档电影《流浪地球2》的观影感受，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解太原市九年级学生每日体育运动的时长，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、发射长征七号A运载火箭前，检查各零部件的合格情况，适合全面调查，故C符合题意；
D、检测一批新出厂平板电脑的使用寿命，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4．（3分）下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析即可得到答案．
【解答】解：A、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
B、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；
C、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
5．（3分）如果a＞b，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2＞b+2正确，不符合题意；
B、a﹣2＞b﹣2正确，不符合题意；
C、应该是﹣2a＜﹣2b，此选项不正确，符合题意；
D、3a＞3b正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，根据SSS证△ODC≌△O′D′C′即可．
【解答】解：从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7．（3分）若一个三角形两边的长分别为2和6，则这个三角形第三边的长可以是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】三角形第三边的长度大于两边差，且小于两边和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
则6﹣2＜x＜6+2，
故4＜x＜8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是理解并掌握三角形的三边关系．
8．（3分）一只小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
【解答】解：∵小虫从点A（﹣2，1）出发，向右跳4个单位长度到达点B处，
∴点B的坐标是（﹣2+4，1），即（2，1），
故选：B．
【点评】此题考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．（3分）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．71° B．59° C．58° D．50°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、b边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵三角形内角和是180°，
∴a、b边的夹角度数为：180°﹣71°﹣50°＝59°，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠α等于59°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近5次的训练成绩绘制成如图所示的折线统计图，下面结论不正确的是（ ）
A．甲的第3次成绩与第4次成绩相同
B．甲、乙两人第3次成绩相同
C．甲的第4次成绩比乙的第4次成绩少2分
D．甲每次的成绩都比乙的低
【分析】直接利用折线统计图得出甲、乙的成绩进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
A、甲的第三次成绩与第四次成绩相同，故此选项正确．不符合题意；
B、第三次测试，甲、乙两人的成绩相同，故此选项正确，不合题意；
C、第四次测试，甲的成绩比乙的成绩少2分，故此选项正确，不合题意；
D、五次训练，乙的成绩不是每次都比甲的成绩高，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，正确得出甲乙的成绩是解题关键．
11．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y＝19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A．
【点评】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
12．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
【分析】根据题意可得S△ABD＝S△BCD＝12，再根据BE＝2ED可得S△AED＝2S△AED即可解答．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积是24cm2，
∴S△ABD＝S△BCD＝12，
∵BE＝2ED，
∴S△AED＝2S△AED，
∵S△AED+S△AED＝S△ABD，
∴△AED的面积是4，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分）
13．（2分）“对顶角相等”是一个 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据对顶角相等、真命题的概念解答．
【解答】解：对顶角相等是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（2分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 稳定 性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
15．（2分）如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为 120 °．
【分析】由平行线的性质得到∠1+∠2＝180°，即可求出∠2＝120°．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠1+∠2＝180°．
16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】把方程的解代入即可求a．
【解答】解：把x＝3，y＝1代入方程得：
9+a＝8，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】遇到题目中已知方程的解类似题目，思路就是把方程的解代入原方程中，求出参数．
17．（2分）已知，则 1.01 ．
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝＝1.01；
故答案为：1.01．
【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
18．（2分）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则共有 37 个橘子．
【分析】设共x个孩子分橘子，则共有（4x+9）个橘子，根据“若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个”，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可确定x的值，再将其代入4x+9中，即可求出结论．
【解答】解：设共x个孩子分橘子，则共有（4x+9）个橘子，
根据题意得：，
解得：6＜x＜，
又∵x为正整数，
∴x＝7，
∴4x+9＝4×7+9＝37，
∴共有37个橘子．
故答案为：37．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
【分析】根据乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义，进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义准确计算．
20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可．
【解答】解：解不等式5x＞x﹣10，得：x＞﹣2.5，
解不等式3﹣x≥，得：x≤3，
所以不等式组的解集是﹣2.5＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．
21．（10分）如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得△A1B1C1．解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用坐标系写出点的坐标即可；
（2）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣4，﹣2），C（2，﹣2）；
（2）如图所示；
（3）△A1B1C1的面积：×6×3＝9．
【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
22．（10分）为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题：
成绩分组
频数
71≤x＜76
2
76≤x＜81
8
81≤x＜86
12
86≤x＜91
10
91≤x＜96
6
96≤x＜101
2
（1）本次活动抽取的学生人数是 40 ，频数分布表的组距是 5 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出调查的学生人数，再根据直方图中的数据，可以计算出组距；
（2）根据频数分布表中的数据，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出分数x在86≤x＜96范围内的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次活动抽取的学生人数是：2+8+12+10+6+2＝40，
频率分布表的组距是76﹣71＝5，
故答案为：40，5；
（2）由频数分布表可知，
91≤x＜96这一组的频数是6，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）320×＝128（人），
答：估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是128人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；
（1）求证：△ABO≌△CDO；
（2）当AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据SSS可证明△ABO≌△CDO；
（2）由全等三角形的性质得出∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，由平行线的性质得出∠C＝∠AOC＝30°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS）；
（2）解：∵△ABO≌△CDO，
∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠AOC＝30°，
∴∠A＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明△ABO≌△CDO是解题的关键．
24．（10分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．”列方程组即可解决；
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元，”得不等式90m+60（100﹣m）≤7200即可解决．
【解答】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，
90m+60（100﹣m）≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球，．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
25．（10分）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x﹣4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 3 ；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解；
（2）由①×3+②可得结论；
（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1），
则①+②得3x+3y＝9，
∴x+y＝3；
①﹣②得x﹣y＝﹣1，
故答案为：﹣1，3；
（2），
则①×3+②得：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，
根据题意得：，
则①×30﹣2×20得10x+10y+10z＝70，
答：购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．
26．（10分）【问题背景】小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：（2）当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
【分析】【问题背景】（1）根据平行线的性质可得结论；
【尝试应用】（2）分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【拓展创新】（3）由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论．
【解答】解：【问题背景】（1）∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】（2）当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2﹣1中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°﹣（∠OAE+∠OEA）＝120°，
综上所述，∠AGE＝60°或120°；
【拓展创新】（3）由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（180°﹣α）＝60°﹣α．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB，
当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值，
∠AGE＝（α﹣180°）+180°＝120°+α．
【点评】本题考查三角形的内角和与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键．
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