广东省东莞市东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期开学数学试题

这是一份广东省东莞市东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期开学数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学生假期学习反馈与检测数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取名同学进行党史测试．已知该校高一学生人，高二学生人，高三学生人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（  ）A．              B．               C．               D．2.若复数满足（为虚数单位），则（    ）A.  B.  C.  D. 3.如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ） A.  B.        C.        D. 4.在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 5.如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6.某班名篮球队队员的身高（单位：）分别是： 则第百分位数是（    ）A.  B.  C.             D. 7.中，，则的取值范围是(   )A.  B.  C.  D. 8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是、的中点，平面PAC，则球的体积为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9.已知某随机试验的两个随机事件概率满足，事件“事件与事件恰有一个发生”，则下列命题正确的有（    ）A．若，则是互斥事件            B．若是互为独立事件，则不可能是互斥事件C．                       D．10.已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（    ）A.    B.   C.    D. 11.某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法正确的是（    ）A. 丁险种参保人数超过五成                   B. 岁以上参保人数超过总参保人数五成C. 周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过元12.如图，在等腰梯形中，，将沿着翻折，使得点到点，且下列结论正确的是(   )A. 平面平面                       B. 二面角的大小为C. 三棱锥的外接球的表面积为       D. 点到平面的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各名学生的身高情况为：男生样本平均数为，方差为，女生样本平均数，方差为，则总体样本方差是______.14.在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是______．（仅需填写一个符合要求的数值）15.某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率__________.16.在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）现有名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求被选中的概率;(2)求和至多有一个被选中的概率 18．(12分)如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．(1) 若，过点画一个与棱平行平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；(2) 若平面交棱于，求四边形的周长的最小值． 19. （12分）现行国家标准中规定了大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼条，从中随机抽取了条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.(1) 求的值，并估计这条鱼汞含量的样本平均数；(2) 用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；(3) 从这批鱼中顾客甲购买了条，顾客乙购买了条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率. 20. （满分12分）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，.(1) 已知，且(i)当时，求的面积；(ii)若，求.(2) 已知，且，求的最大值. 21. （满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．(1) 证明：平面平面；(2) 点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 22.（满分12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．(1) 太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？(2) 若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？   参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BACBADDDABACDACDACD三、填空题13.   14. 8（答案不唯一，满足或即可）  15.    16. 四、解答题17. （1）解：用表示从人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，则对应的样本空间， 共有个样本点，         .............2分记事件“被选中”，则，共有个样本点，  .............4分，  所以被选中的概率.    .............5分（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”可得，共个样本点，所以.               .............8分由对立事件的概率公式得.                            .............10分18. 解：(1) 分别在，，上取，，，使，，则，，此时，        .............3分又，又，平面，所以平面，平面，所以，则交线围成的正方形如图所示．       .............5分因为为矩形，所以，又平面，平面，所以平面        ............6分 因为长方体被平面（正方形）分成两个高为的直棱柱，所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又，所以．             .......................................8分(2)平面交棱于，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，      ..........................10分平行四边形的周长最小当且仅当最小，将平面沿翻折到与平面同一水平面，当三点共线时，最小为，故四边形周长最小为．.........12分19. 解：（1）由，解得.                  .............2分则这条鱼汞含量的样本平均数为               .............4分（2）样本中汞含量在内的频率为.           .............6分则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.                      .............8分（3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为.                        .............9分则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，                          .............10分顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.                                     .............11分则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.            .............12分 20．解：（1）（i）设，在中，由余弦定理得，    ..........1分解得，                                  ........................................2分在中，，则底边上的高，    ..........3分所以的面积.            ..........................4分（ii）设，依题意，，    ......................5分则，，即，而，所以.                            .......................................7分（2）连接，中，，， 由余弦定理得，         .............8分则，，设，在中，，于是，            .......................................9分在中，，由余弦定理得：，...........10分则，        ..........................11分当且仅当，即时取等号，所以当时，，所以AC的最大值是.                      .......................................12分21.解：(1)连结，∵侧棱底面，平面，∴．..........1分又∵底面是正方形，∴．.............2分而且，平面．∴平面．又平面，∴平面平面．.............4分(2)过作交于，过作于，连接．在平面中，，，∴，因为底面，∴平面，..........................6分又平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又平面，∴，∴为二面角的平面角．     .......................................9分故，则．设，则，，．在中，，∴．在中，，∴．所以，当二面角的余弦值为时，．        .............12分22.解：(1)根据题意，可得，，由二面角定义可知，为圆平面与地平面的锐二面角，    .............2分在半圆中， ，，所以，即圆平面与地平面所成的锐二面角为．      ..........................4分(2)过作平面，与平面交，所以为直线与地平面的夹角，         .......................................5分过作直线，与直线交于，连接，，因为平面，平面，所以，..........................7分又因为，，且平面，所以平面，所以是平面与平面所成角的平面角，则，                  ...................................................9分由点为下午太阳所在位置，，所以，，在直角三角形中，，所以直线与地平面的夹角为，即此时阳光入射当地地平面的角度为．.............12分