第04讲 特殊平行四边形的折叠、最值、动态问题-九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

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第4讲 特殊平行四边形的折叠、最值、动态问题知识精讲知识点01 特殊平行四边形的折叠问题1．解题思路解决本题的关键是利用折叠的性质，即根据折叠前后两图形能够完全重合，知对应图形全等，对应线段、对应角相等。2．方法技巧（1）利用折叠的性质：折叠前后的图形全等，寻找折叠部分与原图形之间线段和角之间的关系。（2）通常设出未知数，尽量将数量关系转化到同一个直角三角形中、利用勾股定理列方程求解。考法01 矩形的折叠问题【典例1】如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+x2=（4﹣x）2，解得x= ，即BE的长为 .【解析】根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可.【即学即练】某同学对矩形纸片ABCD进行了如下的操作：如图，先沿直线AG折叠，使点B落在对角线AC上的点P处，再沿直线CH折叠，使点D落在AC上的点Q处.若 ， ，求四边形 的面积. 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ， ， ∴ ， ，∴ ，由折叠的性质可知AP=AB=5，BG=PG，∠B=∠APG=90°，CQ=CD=5，∴CP=8，∠CPG=90°，设CG=x，则BG=PG=12-x，∴由勾股定理可得： ，解得： ， 即CG=，同理AH=，∴CG=AH，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∴ .【解析】根据矩形的性质可得AB=CD=5，∠B=90°，利用勾股定理可得AC，由折叠的性质可知AP=AB=5，BG=PG，∠B=∠APG=90°，CQ=CD=5，设CG=x，则BG=PG=12-x，利用勾股定理求出x，得出CG的长，同理得出AH，然后判断出四边形AGCH是平行四边形，然后根据S四边形AGCH=CG·AB进行计算.知识点02 特殊平行四边形的最值问题常用知识：（1）特殊平行四边形的轴对称性。（2）两点之间，线段最短。（3）点到直线的距离，垂线段最短。（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。有时将确定两线段和的最小值问题转化为求某一线段长度问题。考法02 利用轴对称及两点之间线段最短求最值【典例2】如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 　 　．【答案】【解析】解：连接，过点作交延长线于点，，∴ ，∵ ，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，，，，，，，点在的延长线上，当、、三点共线时，最小，在中，，，，的最小值为．故答案为：．考法03 利用垂线段最短求最值【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为　 　. 【答案】2【解析】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中， ，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝4，AE＝AF÷cos30°＝ ，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝4 ，∴DE＝AD﹣AE＝ ，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝ × ＝2，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为2.故答案为：2.考法04 利用三角形三边之间的关系求最值【典例4】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为　 　，线段DH长度的最小值为　 　.【答案】3 ； ﹣ 【解析】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N.∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF=AD=3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴ ，∵PE=2FQ，∴EM=2MF，∴EM=2，FM=1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM= ，MQ= ，∴PQ ，∵MF∥ON∥BC，MO=OB，∴FN=CN=1，DN=DF+FN=3，ON= ，∴OD= ，∵BH⊥PQ，∴∠BHM=90°，∵OM=OB，∴OH= BM= × ，∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥ ，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当PQ垂直于OD时，O，H，D共线，此时DH最小，∴DH的最小值为 ，故答案为： ， .知识点03 特殊平行四边形的动态问题动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态问题经常作为压轴题目出现。解这类题目的常见思路是“以静制动”，即把动态问题转化为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。考法05 定值问题【典例5】如图， 中， ， ， 是 上一动点（与 、 不重合），将 绕 点逆时针方向旋转 至 ，连接 ． （1）求证： ； （2） 点在移动的过程中，四边形 是否能成为特殊四边形？若能，请指出 点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由． 【答案】（1）∵ 绕 点逆时针方向旋转 至 ， ∴ ， ，而 ， ，∴ ，∴ ，∴ ；（2）当 点为 的中点时，四边形 能成为正方形． 理由如下：当 点为 的中点时，而 ， ，∴ ，即 ，由 得 ，而 ，∴ ，∴四边形 为矩形，又∵ ，∴四边形 能成为正方形．【解析】（1） 绕 点逆时针方向旋转 至 ， 根据旋转的性质得出 ， ， 而 ， ， 得出 ，则，即可得出结论； （2） 当 点为 的中点时，而 ， ， 则 ，即 ，由 得 ，由（1）得 ，而 ， 得出 四边形 为矩形， 由 ， 即可得出 四边形 能成为正方形．考法06 分类问题【典例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边AC，BC所在的直线于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）.（1）写出图中与△ABC相似的三角形；（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度.求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？【答案】（1）图中与△ABC相似的三角形有△DEC，△EBN，△ADM；（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ，∵△ADM∽△ABC，∴ ，∵ ，∴ ，∴∴ ，∴ ，∵△ADM∽△ABC，△DEC∽△ABC，∴△ADM∽△DEC，∴ ，即 ，∴ ，∴ ，∵ ，∴当 时，矩形DENM面积最大，最大面积是3；（3）解：当M、N相遇前，∵四边形DENM是矩形，∴NE=MD，∵△AMD∽△ABC，∴ ，由题意得 ，∴ ，∴ ；∵△BEN∽△BAC，∴ ，即 ∴ ，∴点N的速度为每秒 个单位长度；∵当N、M相遇时，有AM+BM=AB，∴ ，解得 ，即M、N相遇的时间为 ，当N、M相遇后继续运动，N点到达A点时，∴ ，解得 ，即N点到底A点的时间为 ；∵矩形DENM是正方形，∴DM=MN=EN，当N、M相遇前，即当 时， ， ， ，∴ ，∴ ，解得 ；当N、M相遇后，即当 时， ， ， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，解得 不符合题意，∴综上所述，点N的速度为每秒 个单位长度，当 时，矩形DEMN为正方形.【解析】（1）易得DE∥AB，∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°，∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；（2）利用勾股定理求出AB，设DM=x，根据相似三角形的性质表示出AM，由勾股定理可得AD，进而表示出CD，易证△ADM∽△DEC，然后根据相似三角形的性质可得DE，接下来根据三角形的面积公式可得S矩形DENM，最后结合二次函数的性质进行解答；（3）当M、N相遇前，根据矩形的性质可得NE=MD，由题意可得AM=t，根据相似三角形的性质可得MD、BN，然后根据AM+BM=AB求解即可；当N、M相遇后继续运动，N点到达A点时，根据正方形的性质可得DM=MN=EN；当N、M相遇前，表示出MD、BN、AM，然后根据MN=AB-AM-BN可求出t的值；同理可得当N、M相遇后，t的值，据此解答.考法07 存在性问题【典例7】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．（1）当DP=2时，求BE的长．（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．（3）如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．【答案】（1）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴∠DAB＝90°，，∴，∵AP⊥AE，∴∠PAE＝90°，∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，∴△ADP∽△ABE，∴，∴；（2）解：四边形AEBP可能为矩形．如图，由（1）得△ADP∽△ABE，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，如图，当∠APB=90°时，∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°，∴四边形AEBP为矩形，在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝4，由勾股定理得：，，， ；（3）解：点Q运动的距离为8．由（1）中，，∠DAB=∠PAE=90°，∴△ADB∽△APE，∴∠ADB＝∠APE，如图，当点P在点D处时，Q在Q1处，即AQ1⊥BD，作 AQ2⊥PE，图2 图3∴∠AQ1D=∠AQ2P=90°，∴△ADQ1∽△APQ2，∴，∠DAQ1=∠PAQ2，∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，∴△ADP∽△AQ1Q2，∴∠AQ1Q2=∠ADP，∴∠BQ1Q2=90°-∠AQ1Q2=90°-∠ADP=∠ABD，因此点Q在直线Q1Q2上运动，故当点P从点D运动到点B时，点Q由Q1运动到如图2中的Q2位置，则点Q运动的距离为Q1Q2的长度．此时，∠DAP=∠DAB=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2=90°，又∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，∴四边形AQ1BQ2是矩形，∴Q1Q2=AB=8，即点Q运动的距离为8．【分析】（1）根据矩形性质和已知条件得出，证明△ADP∽△ABE，即可得出结论；（2）结合（1）得△ADP∽△ABE，证明四边形AEBP为矩形，再根据勾股定理即可得出结论；（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q1Q2上运动，由（2）知：当点P从点D运动到点B时，点Q由Q1运动到如图2中的Q2位置，则点Q运动的距离为Q1Q2的长度．根据矩形对角线相等即可得出点Q运动的距离。