第05讲 特殊平行四边形单元复习-九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

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第5讲 特殊平行四边形单元复习知识精讲知识点01 平行四边形1．定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积4．判定边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.注意：平行线的性质（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点02 菱形1．定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积4．判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点03 矩形1．定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积4．判定（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.注意：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点04 正方形1. 定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积边长×边长＝×对角线×对角线4．判定（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.能力拓展考法01 平行四边形【典例1】如图，在□ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（     ）A．112° B．118° C．120° D．122°【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（     ）A．3或6 B．3或 C． D．6【典例2】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（       ）A． B．C． D．【即学即练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥考法02 菱形【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(     )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【即学即练】如图，在菱形中，，则（       ）A． B． C． D．【典例4】）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（     ）A． B．C． D．DE平分考法03 矩形【典例5】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（       ）A．3 B． C． D．【即学即练】如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠得到，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作交BC于点G，若，，当为等腰直角三角形时，AE的长为（       ）A． B． C． D．【典例6】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（       ）A．660 B．50 C．40 D．30【即学即练】如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，作射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF．若，则的周长为（       ）A． B． C． D．4考法04 矩形【典例7】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　）A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④【即学即练】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ） A． B．C． D．【典例8】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（       ）A． B． C． D．【即学即练】如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（     ）A．2 B．3 C． D．考法05 综合应用【典例9】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ）A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形【即学即练】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：① .四边形EFGH一定是平行四边形；②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．其中正确的是（     ）A．① B．①② C．①③ D．①②③【典例10】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（       ）A． B． C．4 D．【即学即练】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形分层提分题组A 基础过关练1．在菱形ABCD中，周长为24，已知其两个相邻的内角度数比为，则菱形ABCD中较短对角线长度为（       ）A．6 B．8 C． D．2．如图，长方形沿折叠后，若，则的度数是（       ）A．65° B．60° C．55° D．50°3．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（       ）A．28° B．56° C．36° D．62°4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若EF=12，则CD的长为（            ）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ）A．12 B．9 C．6 D．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（       ）A． B．3 C． D．7．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且，则______．8．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）9．如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．(1)求证：四边形ACEB是菱形；(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．题组B 能力提升练1．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）A． B． C．2 D．42．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　）A．25° B．35° C．45° D．55°3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（       ）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm4．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（       ）A． B． C． D．5．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（       ）A．3 B．5 C． D．6．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF∶AH＝；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（       ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．9．综合与实践【问题情境】如图①，在中，，，点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，连接BE．【问题解决】(1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论；(2)如图②，将沿AB的垂直平分线对折，得到，连接EG，过点E作，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG．①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论；②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．题组C 培优拔尖练1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝，则CF的长是（       ）A． B． C． D．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（       ）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形3．如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（       ）①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动2.5秒时，的长是（       ）A． B． C． D．5．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　）A．2 B． C．1.5 D．6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．已知，，垂足为，的延长线交于点．若，则的值为　　A． B．C． D．7．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为______．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：①；②；③直线；④点E运动的路程是．其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）9．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合）(1)如图（1），将沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；(2)如图（2），将沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；(3)如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．10．已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．