初中数学北师大版九年级上册2 反比例函数的图象与性质优秀课时练习

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知识精讲
知识点01 反比例函数的概念及表达式
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
知识点02 确定反比例函数的关系式
1．用待定系数法确定反比例函数表达式
在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
2．用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤
（1）设：设出含有待定系数的反比例函数的表达式。
（2）列：把已知条件（自变量和函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程。
（3）解：解方程求出待定系数。
（4）写：将求得的待定系数的值代入所设的反比例函数的表达式中，即可得到反比例函数的表达式。
知识点03 反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象特点
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
注意：
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2．画反比例函数的图象的基本步骤
（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3．反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
知识点04 反比例函数表达式中的比例系数的几何意义
（1）过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
（2）过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
注意：
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
能力拓展
考法01 反比例函数的定义
【典例1】下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y=xB．y=-2x+3C．y=-D．y=-
【即学即练】下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】下列说法正确的是( )
A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例
B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例
C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例
D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例
【即学即练】已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考法02 确定反比例函数的解析式
【典例3】若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．B．3C．-D．-3
【即学即练】已知函数是关于的反比例函数，则的值为（ ）
A．1B．－1C．D．
【典例4】如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．1B．C．D．3
【即学即练】已知函数是关于x的反比例函数，则该函数图象位于（ ）
A．第一、第三象限B．第二、第四象限C．第一、第二象限D．第三、第四象限
考法03 反比例函数的图象和性质
【典例5】反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例6】反比例函数y=，关于其函数图象下列说法错误的是（ ）
A．位于第二、四象限B．图象过点（-1,3）C．关于原点成中心对称D．y随x的增大而增大
【即学即练】已知函数的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考法04 反比例函数综合
【典例7】在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】已知反比例函数y，下列结论中，不正确的是( )
A．图象必经过点（1，2）B．y的值随x值的增大而减小
C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2
【典例8】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则▱OABC的面积是 ( )．
A．5B．4C．2D．不确定
【即学即练】如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3B．5C．6D．10
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
2．下面四个关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2)B．y随x的增大而减小
C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
5．如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
6．下列说法正确的是（ ）
①反比例函数中自变量x的取值范围是x≠0﹔
②点P（3，－2）在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k=_____．
8．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
9．下列哪些式子表示y是x的反比例函数？为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（a为常数，）．
10．在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．
（1）函数经过哪些象限？
（2）求的取值范围．
题组B 能力提升练
1．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（ ）
A．B．C．D．
2．若一次函数与反比例次函数有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是等边三角形，且与x轴重合，反比例函数的图象经过点B，则的面积为（ ）
A．B．12C．D．
4．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
5．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
6．对于反比例函数的图象，下列说法不一定正确的是（ ）
A．图象经过点(1，-2022)B．图象分布在二、四象限
C．图象关于原点成中心对称D．图象上的两点，，若，则
7．反比例函数的图像过点、，则______．
8．如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．
9．如图是反比例函数y＝的图象的一支．根据图象解决下列问题：
(1)求m的取值范围；
(2)若点A（m-3，b1）和点B（m-4，b2）是该反比例函数图象上的两点，请你判断b1与b2的大小关系，并说明理由．
10．已知点A为函数y（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC//x轴交函数图象于点C，连接OC．
(1)如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；
(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
题组C 培优拔尖练
1．如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下面结论正确的有（ ）
（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例．
（2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系．
（3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例．
（4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系．
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）
3．如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△ABC中，AB⊥y轴于点B，点C是x轴上一点，点A在反比例函数的图像上，若△ABC的面积为2，则k＝（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
5．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，则关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
7．如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是______．
8．如图，▭ABCD的对角线在y轴上，原点O为的中点，点D在第一象限内，//轴，当双曲线经过点D时，则▭ABCD的面积为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
10．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)已知轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
课程标准
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
概念
一般地，如果两个变量之间的对应关系可以表示成 (为常数，)的形式，那么称是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。
表达式
或或
5
…
…
…
…
…
1
20
30
40
50
60
70
80
90
100