数学第1章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题优秀综合训练题

第1章 一元二次方程

1.4  用一元二次方程解决问题

知识点01  列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
【微点拨】

列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
【即学即练1】1．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.

【详解】

设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：

故选：C.

【即学即练2】2．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）

A．14 B．11 C．10 D．9

【答案】B

【分析】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：

，

解得：（舍去），

故选B．

知识点02  一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字

只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位

数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
 

5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【微点拨】

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【即学即练3】3．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．

【详解】

设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，

2018年我国快递业务量为：507亿件，

2019年我国快递业务量为：=亿件，

2020年我国快递业务量为：+，

根据题意，得：

故选C．

【即学即练4】4．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．

【详解】

解：设年平均增长率为x，由题意得：

，

故选：B．

考法01  增长率问题

1.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
 

【典例1】随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会（    ）．（参考数据：）

A．低于22万元/辆 B．低于万元/辆

C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆

【答案】A

【分析】

设月平均降价的百分率为x，根据今年3月份及5月份该款新能源汽车的售价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出（1-x）2的值，再将其代入243000（1-x）2中即可得出结论．

【详解】

解：设月平均降价的百分率为x，

依题意得：270000（1-x）2=243000，

∴（1-x）2=0.9，

∴今年7月份该款新能源汽车的价格为243000（1-x）2=243000×0.9=218700（元）．

故选：A．

考法02  与图形有关的问题

解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【典例2】如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据題意，列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程．

【详解】

解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，

根据题意：，

故选：B．

题组A  基础过关练

1．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，

故选：B．

2．某商品原价400元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列的方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设平均每降价的百分率为x，则第一次降价后单价为元，第二次降价后的单价为元，由经连续两次降价后售价为256元，列方程即可得到答案．

【详解】

解：设平均每降价的百分率为x，则

，

故选：

3．某型号的手机连续两次降价，每台手机售价由原来的3600元降到2500元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意利用原价×（1−每次下调的百分率）＝实际售价列方程解答即可．

【详解】

解：根据题意列方程得：，

故选：D．

4．我区高效课堂建设确定以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从2020年起三年共投入3640万元，已知2020年投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2020年投入1000万元，得出2021年投入1000（1＋x）万元，2022年投入1000（1＋x）2万元，然后根据三年共投入3640万元可得出方程．

【详解】

设投入经费的年平均增长率为x，则2021年投入1000（1＋x）万元，2022年投入1000（1＋x）2万元，

根据题意得：1000＋1000（x＋1）＋1000（1＋x）2＝3640，

即：1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝2640．

故选：D．

5．某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据2019年的蔬菜产量=2017年的蔬菜产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．

【详解】

解：设种植基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意得：

，

即：．

故选：A．

6．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）2＝﹣25 B．36（1﹣2x）＝25

C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25

【答案】C

【分析】

根据百分率的意义及方程的意义可以得到解答．

【详解】

第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，

为36×（1﹣x）×（1﹣x），

则列出的方程是36×（1﹣x）2＝25．

故选：C．

7．某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由于一月份生产空调1200台，三月份生产空调1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产1200（1＋x）吨、1200（1＋x）2吨，由此即可列出方程．

【详解】

解：依题意得

．

故答案为：B．

题组B  能力提升练

1．在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是，点B表示的数是，如果A，B两点关于原点对称，那么的值是（    ）

A． B．0 C．2 D．0或2

【答案】C

【分析】

利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程后检验即可．

【详解】

解：因为A，B两点关于原点对称，

∴，

解得，或；

因为A、B是不同的两点，

当时，，因此 不合题意，故舍去；

∴a 的值是2；

故选：C．

2．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　）

A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家

【答案】B

【分析】

每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司参加，那么每个公司都要签订（x-1）份合同，但每两家公司签订的合同只有一份，所以签订的合同共有份．

【详解】

解：设有x家公司参加，依题意可得，

，

整理得：，

解得：．

答：共有10家公司参加商品交易会．

故选：B．

3．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为（    ）

A．16% B．36% C．40% D．50%

【答案】C

【分析】

把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则提升后的价格为1+x，双十一的价格为(1+x)(1-x)，由题意可得方程，解方程即可得给定的百分比．

【详解】

把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则由题意得方程：(1+x)(1-x)=84%

解得：x=0.4或x=-0.4（舍去）

∴x=0.4

即提升的百分比为40%

故选：C．

4．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（　　）

A．10（1﹣x）2=16 B．16（1﹣x）2=10

C．16（1+x）2=10 D．10（1+x）2=16

【答案】D

【分析】

根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可．

【详解】

设增长率为，根据题意得．
故选：D．

5．已知-2是三次方程的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法:根据小丽的解法，则b的取值范围是______________．

【答案】b>-3

【分析】

小丽的解法为待定系数法，先左边展开，根据多项式相等可知：，b=n+2m，再依据题意可知，所设二次方程无解，故代入可得b的取值范围．

【详解】

解：因为-2是三次方程的唯一实数，所以，

则

可得m=-2，n=c，

再由

4-4n<0，n>1

n-4>-3，

又∵b=n+2m=n-4

b>-3

故答案为：b>-3．

6．已知关于x的代数式，当x＝______时，代数式的最小值为______．

【答案】±1,    2   

【分析】由可知≥2，即可得到最小值，再通过解方程求出x值即可.

【详解】

解：∵≥0

≥2，代数式有最小值为2．

当=2时，解得x=±1,

故答案为：±1；2．

7．方程  的解的个数为________．

【答案】2

【分析】

用图象法求解，分别画出y=（x+2 ）（x+3 ）（x+6）（x+9）与y=3x2的图象，根据两图象的交点个数即可判断方程解的个数．

【详解】

y=（x+2 ）（x+3 ）（x+6）（x+9）与y=3x2的图象如图：

由图象可知有两个交点，故解的个数为2．

故答案为2．

题组C  培优拔尖练

1．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ）

A．12元 B．10元 C．11元 D．9元

【答案】B

【分析】

设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．

【详解】

设应降价x元

则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800

解得：x=4或x=10

∵要尽快较少库存，∴x=4舍去

故选：B．

2．方程的整数解有（    ）

A．3组 B．4组 C．5组 D．6组

【答案】D

【分析】将y看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况.

【详解】

解：

∵x是整数解

∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；

x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3；

x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解；

x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2；

x=3，y2=0，解得y=0.

故选：D.

3．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（ ）

A．64 B．75 C．53或75 D．64或75

【答案】D

【分析】令个位上的数字为x，然后用x表示出十位上的数字，再根据题意列出方程求解出x的具体数值，最后写出这个两位数.

【详解】

令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为：

10(x+2)+x

依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40

整理得到：x2-9x+20=0

          (x-4)(x-5)=0

解得：x1=4，x2=5

则该两位数为64或75,

故选择D.

4．阅读理解：设，，若，则，即已知，，且，则x的值为　　

A． B．1或 C．或4 D．1

【答案】B

【详解】

解：，，且，

，即．

整理，得

．

解得，

故选B．

5．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

设2016年的国内生产总值为1，

∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；

∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），

∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，

∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．

6．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    )

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【答案】B

【详解】

试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．

故选B.

7．若，则的个位数字是（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

把方程化为，整理得，在两次利用完全平方公式即可解答.

【详解】

∵，

∴，整理得；

∴，整理得；

∴，整理得.

故选A.