四川省成都市第七中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟练习（一）

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟练习（一），共25页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
四川省成都七中2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟练习（一）
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）对于函数y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≠0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0
3．（4分）若a＜b，则下列各式中，错误的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣3a＞﹣3b D．3a＜3b
4．（4分）下列分解因式正确的是（　　）
A．a﹣4a3＝（1+2a）（1﹣2a3） B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
6．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，4）沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（　　）
A．（﹣2，6） B．（﹣2，0） C．（﹣5，3） D．（1，4）
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（　　）

A． B． C． D．1
8．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，点M为EF中点，则MN＝（　　）

A． B．1 C． D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）小明同学在求一个多边形的内角和时，不小心漏加了一个内角的度数结果为2020°，那么漏加的这个内角的度数是 　 　．
10．（4分）分解因式：a2b﹣18ab+81b＝　 　．
11．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，3）在第一象限，则m的取值范围是 　 　．
12．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）和y＝ax+4（a≠0）的图象相交于点A（﹣1，1），则不等式kx＜ax+4的解集为 　 　．

13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF＝4，E，F分别是BD，CD的中点，则AD长为 　 　．

三．解答题（共5小题，满分48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
15．（8分）已知A＝÷．
（1）化简A；
（2）若＝3，求A的值．
16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

17．（10分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，EG⊥FH于点O．求证：四边形EFGH为菱形．

18．（10分）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（，0），B（0，1），以AB为边在第一象限内做等边△ABC．
（1）线段AB的长是 　 　，∠BAO＝　 　°，点C的坐标是 　 　；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在y轴上存在点M，使△MAB为等腰三角形，请直接写出点M的坐标．

四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）若x＝+1，则x2﹣2x+1＝　 　．
20．（4分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任选一个数作为a的值，使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 　 　．
21．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三角形PBQ的面积为 　 　．

22．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC上，CE＝2AE，AD＝9，BE＝10，AD与BE交于点F，则△ABC的面积是　 　．

23．（4分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 　 　．

五．解答题（共3小题，满分30分）
24．（8分）北京冬奥会吉祥物雪容融与冰墩墩深受各国人民喜爱，出现了供不应求的局面．某商场准备购进冰墩墩和雪容融两种毛绒玩具，每个冰墩墩比雪容融进价多65元，用28000元购进冰墩墩的数量与用15000元购进的雪容融数量相同，请解决下列问题：
（1）冰墩墩与雪容融每个进价各是多少元？
（2）若每个冰墩墩的售价为198元，每个雪容融的售价为100元，商场决定，同时购进冰墩墩、雪容融500个，且全部售出，请写出所获利润y元与冰墩墩数量x个的函数关系式，若商场用不低于6万元的资金购进冰墩墩与雪容融，冰墩墩至多购进350个，则有几种购买方案？
（3）在（2）问条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进冰墩墩和雪容融送给福利院，请直接写出捐赠的冰墩墩和雪容融各是多少个？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴的正半轴，x轴的正半轴分别相交于A，B两点，点Q是线段AB上的动点．

（1）若S△AOB＝6，OA＝3，
①求直线AB所对应的函数关系式；
②若点Q是线段AB的三等分点，求点Q的坐标；
（2）如图2，作点O关于点A的中心对称点C，连接BC，取BC的中点T，若＝，求证：O，Q，T三点共线．
26．（12分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝4，边BC在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并利用图（1）加以证明．
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤4），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．


四川省成都七中2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．（4分）对于函数y＝自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≠0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0
【答案】C
【解答】解：由题意得：x+2≥0且x≠0，
解得：x≥﹣2且x≠0，
故选：C．
3．（4分）若a＜b，则下列各式中，错误的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣3a＞﹣3b D．3a＜3b
【答案】B
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴3a＜3b，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（4分）下列分解因式正确的是（　　）
A．a﹣4a3＝（1+2a）（1﹣2a3） B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
【答案】C
【解答】解：A．a﹣4a3＝a（1﹣4a2）＝a（1+2a）（1﹣2a），因此选项A不符合题意；
B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y+1），因此选项B不符合题意；
C．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项C符合题意；
D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，4）沿x轴向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是（　　）
A．（﹣2，6） B．（﹣2，0） C．（﹣5，3） D．（1，4）
【答案】D
【解答】解：将点P（﹣2，4）向右平移3个单位到Q点，
即Q点的横坐标加3，纵坐标不变，即Q点的坐标为（1，4）．
故选：D．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（　　）

A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
设PD＝x，则PA＝PC＝4﹣x，
在Rt△PCD中，x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即DP的长为．
故选：C．

8．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，点M为EF中点，则MN＝（　　）

A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∵∠EBC+∠FCB＝90°，
∴CF平分∠DCB，
同理可证：DF＝CD＝4，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝4+4﹣6＝2．
∵CF⊥BE交BE于点N，点M为EF中点，
∴MN＝EF＝1．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
9．（4分）小明同学在求一个多边形的内角和时，不小心漏加了一个内角的度数结果为2020°，那么漏加的这个内角的度数是 　140°　．
【答案】140°．
【解答】解：∵2020°÷180°＝11…40°，
则边数是：11+1+2＝14；
则该多边形的内角和＝（14﹣2）×180°＝2160°．
这个内角＝2160°﹣2020°＝140°．
故答案为：140°．
10．（4分）分解因式：a2b﹣18ab+81b＝　b（a﹣9）2　．
【答案】b（a﹣9）2．
【解答】解：a2b﹣18ab+81b
＝b（a2﹣18a+81）
＝b（a﹣9） 2．
故答案为：b（a﹣9）2．
11．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，3）在第一象限，则m的取值范围是 　m＞2　．
【答案】m＞2．
【解答】解：∵点P（m﹣2，3）在第一象限，
∴m﹣2＞0，
即m＞2，
故答案为：m＞2．
12．（4分）如图，函数y＝kx（k≠0）和y＝ax+4（a≠0）的图象相交于点A（﹣1，1），则不等式kx＜ax+4的解集为 　x＞﹣1　．

【答案】x＞﹣1．
【解答】解：根据题意得x＞﹣1时，kx＜ax+4，所以不等式kx＜ax+4的解集为x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF＝4，E，F分别是BD，CD的中点，则AD长为 　8　．

【答案】8．
【解答】解：∵E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴BC＝2EF，
∵EF＝4，
∴BC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共5小题，满分48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）4+；
（2）1≤x≤．
【解答】解：（1）
＝5+3+（﹣）﹣3
＝5+3+﹣﹣3
＝4+；

（2），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x，
所以不等式组的解集是1≤x≤．
15．（8分）已知A＝÷．
（1）化简A；
（2）若＝3，求A的值．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）A＝÷
＝÷
＝•
＝．
（2）若＝3时，
则x＝3y，
∴A＝
＝．
16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

【答案】（1）（2）见解答；
（3）（0，﹣1）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，△A2B2C2为所作，旋转中心P的坐标为（0，﹣1）．

17．（10分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，EG⊥FH于点O．求证：四边形EFGH为菱形．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAH＝∠OCF，
在△AOH和△COF中，
，
∴△AOH≌△COF（ASA），
∴OH＝OF，
同理：OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵EG⊥FH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
18．（10分）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（，0），B（0，1），以AB为边在第一象限内做等边△ABC．
（1）线段AB的长是 　2　，∠BAO＝　30　°，点C的坐标是 　（，2）　；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在y轴上存在点M，使△MAB为等腰三角形，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）2，30，C（，2）；（2）﹣；（3）（0，﹣1）或（0，3）．
【解答】解：（1）∵A（，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，AB＝2，tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
∵以AB为边在第一象限内做等边△ABC，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠OAC＝90°，
∴C（，2），
故答案为2，30，C（，2）；
（2）四边形ABPO的面积＝△BAO的面积+△OBP的面积＝××1+×1×（﹣a）＝﹣；
（3）∵AB＝2，∠BAO＝30°，
∴∠OBA＝60°，
①当AB＝BM时，BM＝2，
∵M（0，﹣1）或M（0，3）；
②当AB＝AM时，△ABM是等边三角形，
∴M与B关于x轴对称，
∴M（0，﹣1）；
③当BM＝AM时，△ABM是等边三角形，
∴M与B关于x轴对称，
∴M（0，﹣1）；
综上所述：△MAB为等腰三角形时，M点坐标为（0，﹣1）或（0，3）．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）若x＝+1，则x2﹣2x+1＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
＝（﹣+1﹣1）2
＝3．
故答案为：3．
20．（4分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任选一个数作为a的值，使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵，
∴a﹣（x﹣2）＝x，
∴x＝，
∵分式方程有正整数解，
∴x﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a可能为﹣2，﹣1，0，1，
当a＝﹣2时，x＝0，不合题意舍去；
当a＝﹣1时，x＝，不合题意舍去；
当a＝0时，x＝1，符合题意；
当a＝1时，x＝，不合题意舍去；
∴使分式方程有正整数解的a的值有1个，
∴使得关于x的分式方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
21．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三角形PBQ的面积为 　6　．

【答案】6．
【解答】解：∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∵PA＝3，
∴PQ＝AQ＝PA＝3，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠PAC＝∠QAB，
在△APC和△AQB中，

∴△APC≌△AQB（SAS），
∴BQ＝PC＝5，
在△BPQ中，
PB2+PQ2＝BQ2，
∴∠BPQ＝90°，
∴S△BPQ＝PB•PQ＝×4×3＝6，
故答案为：6．
22．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC上，CE＝2AE，AD＝9，BE＝10，AD与BE交于点F，则△ABC的面积是　54　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，取CE的中点G，连接DG．
∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即点D是BC的中点，
∴GD是△BCE的中位线，
∴DG∥BE，DG＝BE＝5．
又∵CE＝2AE，
∴AE＝GE，即点E是AG的中点，
∴点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝4.5，EF是△ADG的中位线，
∴EF＝DG＝2.5，
∴BF＝BE﹣EF＝7.5．
则在直角△BFD中，由勾股定理易求BD＝6．
∴BC＝12．
则△ABC的面积是：BC•AD＝×12×9＝54．
故答案为：54．

23．（4分）如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 　②③④　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图象可得，
a＞0，则﹣a＜0，对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而减小，故①错误；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到4（a﹣c）＝d﹣b，故④正确；
故答案为②③④．
五．解答题（共3小题，满分30分）
24．（8分）北京冬奥会吉祥物雪容融与冰墩墩深受各国人民喜爱，出现了供不应求的局面．某商场准备购进冰墩墩和雪容融两种毛绒玩具，每个冰墩墩比雪容融进价多65元，用28000元购进冰墩墩的数量与用15000元购进的雪容融数量相同，请解决下列问题：
（1）冰墩墩与雪容融每个进价各是多少元？
（2）若每个冰墩墩的售价为198元，每个雪容融的售价为100元，商场决定，同时购进冰墩墩、雪容融500个，且全部售出，请写出所获利润y元与冰墩墩数量x个的函数关系式，若商场用不低于6万元的资金购进冰墩墩与雪容融，冰墩墩至多购进350个，则有几种购买方案？
（3）在（2）问条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进冰墩墩和雪容融送给福利院，请直接写出捐赠的冰墩墩和雪容融各是多少个？
【答案】（1）每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）有4种方案；
（3）捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为每个x元，则雪容融每个进价是（x﹣65）元，
根据题意得：，
解得：x＝140，
经检验，x＝140是原分式方程的解，
∴x﹣65＝140﹣65＝75（元），
答：每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）根据题意得：y＝（198﹣140）x+（100﹣75）（500﹣x）＝33x+12500，
∵商场用不低于6万元的资金购进冰墩墩与雪容融，
∴140x+75（500﹣x）≥60000，
解得x≥，
∵冰墩墩至多购进350个，
∴x≤350，
∴≤x≤350，
而x为整数，
∴x可取347或348或349或350；
∴有4种方案；
（3）由（2）知y＝33x+12500，≤x≤350，
∵33＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝350时，y取最大值，最大值为33×350+12500＝24050，
设捐赠的冰墩墩m个，捐赠雪容融n个，
根据题意得：140m+75n＝24050×﹣255，
∴n＝，
∵m、n都为非负整数，
∴m＝10，n＝10，
答：捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴的正半轴，x轴的正半轴分别相交于A，B两点，点Q是线段AB上的动点．

（1）若S△AOB＝6，OA＝3，
①求直线AB所对应的函数关系式；
②若点Q是线段AB的三等分点，求点Q的坐标；
（2）如图2，作点O关于点A的中心对称点C，连接BC，取BC的中点T，若＝，求证：O，Q，T三点共线．
【答案】（1）①y＝﹣x+3；②点Q的坐标为（，2）或（，1）；（2）证明见解答过程．
【解答】解：（1）①∵S△AOB＝6，OA＝3，
∴OA•OB＝×3OB＝6，
∴OB＝4，
∴A（0，3），B（4，0），
设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB所对应的函数关系式为y＝﹣x+3；
②如图：

∵点Q是线段AB的三等分点，
∴点Q的纵坐标为1或2，
∵直线AB所对应的函数关系式为y＝﹣x+3，点Q是线段AB的三等分点，
∴当y＝1时，1＝﹣x+3，解得：x＝，
当y＝2时，2＝﹣x+3，解得：x＝，
∴点Q的纵坐标为（，2）或（，1）；
（2）设A（0，a），B（b，0），
∵点O关于点A的中心对称点C，A（0，a），
∴点C（0，2a），
∵点T是BC的中点，B（b，0），C（0，2a），
∴点T（，a），
∵＝，
∴点Q的坐标为（，），
设OT的函数关系式为y＝mx，
则•m＝a，解得m＝，
∴OT的函数关系式为y＝x，
当x＝时，y＝×＝，
∴点Q在直线OT上，即O，Q，T三点共线．
26．（12分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝4，边BC在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并利用图（1）加以证明．
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤4），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

【答案】（1）平行四边形；
（2）OA＝OP，OA⊥OP，证明过程请看解答；
（3）当P点在B点右侧时，y＝（x+2）2﹣1；当P点在B点左侧时，y＝﹣（x﹣2）2+1；y有最大值为8．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵边BC在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为PQ，
∴AD∥PQ，AD＝BC＝PQ，
∴四边形APQD为平行四边形；
（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵QO⊥BD，
∴△BOQ是等腰直角三角形，
∴∠PQO＝45°，∠BOQ＝90°，OB＝QO，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
在△AOB和△POQ中，
，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOB+∠POB＝∠POQ+∠POB，
即：∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴OA⊥OP；
（3）①当P点在B点右侧时，过O作OE⊥BC于E，如图（1）所示：
∵BP＝x，BC＝4，
∴BQ＝x+4，OE＝，
∴y＝××x＝（x+2）2﹣1，
又∵0≤x≤4，
∴当x＝4时，y有最大值为8；
②当P点在B点左侧时，过O作OE⊥BC于E，如图（2）所示：
∵BP＝x，BC＝4，
∴BQ＝4﹣x，OE＝，
∴y＝××x＝﹣（x﹣2）2+1，
又∵0≤x≤4，
∴当x＝2时，y有最大值为1；
综上所述，当x＝4时，y有最大值为8．