数学七年级上册1.2.4 绝对值习题

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培优专题03 和绝对值有关的五种常见题型

【专题精讲】
运用绝对值解决问题,在初中代数中具有重要的意义,利用绝对值的知识一般可以将问题化归,结合分类讨论思想、数形结合思想解决问题,从而达到化难为易、化繁为简的目的。
◎类型一：利用绝对值的性质进行化简
解题方法:关键是如何去掉绝对值符号,要去掉绝对值符号的关键是如何确定绝对值里的符号,根据数轴可知数轴的大小关系，这样就可以确定符号,从而使问题得到解决.
1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级阶段练习）在数轴上表示a，b，c三个数的点的位置如图所示，化简式子的结果为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得出，，再根据绝对值的意义化简即可．
【详解】由数轴可知，
∴，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查由数轴上的点判断式子的正负，化简绝对值．由数轴正确的得出，是解题关键．
2．（2021·新疆生产建设兵团第一中学七年级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）

A．b B．-b C．2a D．-2a
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：由数轴得：，即，
∴，故A正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，解答此题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质进行化简．
3．（2022·全国·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|的值为（　　）


A．0 B．2a﹣2c+2b C．﹣2c D．2a
【答案】D
【分析】根据数轴得出b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，从而得到c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，再根据绝对值性质化简即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，
则c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，
则|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|＝a﹣c+a+b+c﹣b＝2a．
故选：D．
【点睛】本题考查利用数轴化简绝对值，合并同类项，根据数轴得出c﹣a＜0、a+b＜0、b﹣c＜0是解题的关键．

◎类型二：根据绝对值的性质求值
4．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级阶段练习）已知|a|=1，b是3的相反数，则a+b的值为（　　）
A．-2 B．-4 C．-2或-4 D．4或-2
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义和相反数的定义求出a，b的值，然后分两种情况分别求a+b的值即可．
【详解】解：∵|a|=1，
∴a=±1，
∵b是3的相反数，
∴b=-3，
当a=1，b=-3时，a+b=1-3=-2；
当a=-1，b=-3时，a+b=-1-3=-4；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，相反数，有理数的加法，体现了分类讨论的思想，分两种情况分别求a+b的值是解题的关键．
5．（2022·山东德州·七年级期末）若，，则所有可能的值为（      ）
A．8 B．8或2 C．8或 D．或
【答案】D
【分析】先求出a、b的值，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴a=±5，
∵，
∴b=±3，
当a=5，b=3时，；
当a=5，b=-3时，；
当a=-5，b=3时，；
当a=-5，b=-3时，；
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、平方根和有理数加法运算，解题的关键是分类讨论，准确计算．
6．（2022·全国·七年级专题练习）若，则的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的非负性得到与的值，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
当时，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值的非负性及幂的运算，熟练掌握非负式的和为零的条件是解决问题的关键．
7．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）已知，，且，则的值为（    ）
A．9 B．－9 C．9或3 D．－9或－3
【答案】D
【分析】根据绝对值的含义先求解的值，再根据进行分类讨论，最后求解代数式的值即可.
【详解】解： ，，

，

或
当时，，
当时，
故选D
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的减法运算，代数式的值，掌握“”是解本题的关键.

◎类型三：根据绝对值的性质解决1a1a型问题
8．（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为（    ）
A．1或3 B．– 1或– 3 C．±1或±3 D．0或3
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质化，即正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，求值即可．
【详解】解：分情况讨论：
当时，；
当时，；
当中有一个小于0时，；
当中有两个小于0时，；
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质，分情况讨论，找出所有情况．
9．（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）设，且，则的值有可能是（    ）
A．0 B． C． D．0或
【答案】A
【分析】根据题意可得a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况；据此讨论求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况；
不妨设，则，
∴；
不妨设，则，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数加法，乘法与除法运算，化简绝对值，正确得到a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况是解题的关键．
10．（2021·湖北黄石·七年级期末）a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】B
【分析】先根据数轴分别判断出的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可．
【详解】解：由数轴可知∶ ，，，
∴
=
=
=
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是数轴的比较大小和去绝对值，掌握利用数轴比较大小和绝对值的性质是解决此题的关键．
11．（2022·江苏·七年级专题练习）已知a，b，c是有理数，且a＋b＋c＝0，abc（乘积）是正数，则的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】B
【分析】由已知变形得a＋b＝﹣c，a＋c＝﹣b，b＋c＝﹣a，根据a，b，c是有理数，且a＋b＋c＝0，abc（乘积）是正数，得到a，b，c中有两个负数，一个正数，设a＜0，b＜0，c＞0，将原式变形计算可得结果．
【详解】解：∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝﹣c，a＋c＝﹣b，b＋c＝﹣a，
∵a，b，c是有理数，且a＋b＋c＝0，abc（乘积）是正数，
∴a，b，c中有两个负数，一个正数，
设a＜0，b＜0，c＞0，
∴原式＝
＝
＝﹣（）
＝﹣（1﹣1﹣1）
＝1．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，有理数加法法则的理解，乘法法则的理解，绝对值的化简，正确理解有理数加法及乘法法则是解题的关键．

◎类型四：运用零点分段法求最大、最小值
解题方法：化简含有多个绝对值的式子,关键是如何去掉绝对值,要想去掉绝对值,就需要知道各个绝对值部分的正负性,可先求出各个绝对值等于零的字母的值,也就是先求出分界点,从而得到每个部分中字母的取值范围,再根据取值范围分类时论即可求解。
12．（2021·全国·七年级）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 　　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　　，如果|AB|＝2，那么x为 　　；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 　　；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4
【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；
（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；
（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；
（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．
【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： ；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： ；
（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，
∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，
解得：x＝1或﹣3；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，
∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；
（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，
∴当x＝2时，y最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x＝2时，y最小，最小值为4．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
13．（2020·山东·临沂第十七中学七年级阶段练习）计算：已知
（1）当时，求的值；
（2）求的最大值；
【答案】（1）3或-5；（2）5
【分析】（1）由已知分别求出m和n的值，由已知可得m=-1，n=-4或m=-1，n=4，再求m+n即可；
（2）分四种情况分别求解即可．
【详解】解：∵|m|=1，|n|=4，
∴m=±1，n=±4；
（1）∵m＜0，
∴m=-1，n=-4或m=-1，n=4，
∴m+n=3或-5；
（2）当m=1，n=4时，m-n=-3；
当m=-1，n=-4时，m-n=3；
当m=1，n=-4时，m-n=5；
当m=-1，n=4时，m-n=-5；
∴m-n的最大值是5．
【点睛】本题考查有理数的运算，绝对值的意义；掌握有理数和绝对值的运算法则，能够正确分类是解题的关键．
14．（2019·新疆师范大学附属中学七年级阶段练习）完成下列各题：
（1）|x+1|+5的最小值是　 　，此时x2019＝　 　．
（2）方程|x﹣2|+|x+3|＝6的解有　 　个．
（3）已知x＜﹣3，则化简式子|﹣x|+|x+3|﹣|x﹣3|．
【答案】（1）5，-1；（2）2；（3）﹣x﹣6．
【分析】（1）由绝对值的性质可得|x+1|≥0，当|x+1|＝0时，|x+1|+5有最小值，求出x=-1，则x2019＝﹣1；
（2）分三种情况：当x≥2时，当x≤﹣3时，当﹣3＜x＜2时，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案；
（3）当x＜﹣3时，先化简绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】解：（1）∵|x+1|≥0，
∴|x+1|+5的最小值为5，此时x＝﹣1，
∴x2019＝﹣1，
故答案为5，﹣1；
（2）当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，
∴x＝2.5；
当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；
当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，
∴x＝﹣3.5；
综上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有两个；
故答案为2；
（3）当x＜﹣3时，|﹣x|+|x+3|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣x﹣3+x﹣3＝﹣x﹣6．
【点睛】本题考查绝对值的性质；熟练掌握绝对值的性质，分段去掉绝对值的符号，转化为一元一次方程解题是关键．
15．（2022·全国·七年级课时练习）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；
（3）求的最小值是_______．
【答案】（1）3，3，4；（2），或1；（3）1．
【分析】（1）根据题意及绝对值的几何意义解题，数轴上两点间的距离即是两点表示的数的差的绝对值；
（2）根据绝对值的几何意义解题，数轴上的点x与-1的距离即求x与-1 的差的绝对值，如果，则点x可能在-1的右侧距离-1是2个单位长度，或者点x可能是在-1的左侧距离-1是2个单位长度，据此解题；
（3）将变形成两数差的绝对值形式，再根据绝对值的几何意义解题即可．
【详解】（1）数轴上，A、B两点之间的距离为，
数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为，
故答案为：3，3，4；
（2）数轴上表示和-1的两点之间的距离为，
如果，则，
，
或
故答案为：或；
（3），其表示的几何意义是：数轴上表示的点x到-1和-2之间的距离和，当时，代数式，则最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查数轴、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

◎类型五：运用绝对值的几何意义求最小值
一般来说,出现若干个绝对值的代数和,求其最小值,通常可以采用零点分段法解决问题,但若出现三个或三个以上,再用该法就显得特别繁杂,此时,若利用绝对值的几何意义来解题,将显得更加简捷.根据绝对值的几何意义:x-a表示在数轴上,x所对应的点到a所对应的点之间的距离.这样就可以把该问题转化为:在数轴上求一点,使其到各零点的距离和最小.再结合求绝对值代数和的一般规律即可解决。
16．（2020·江苏·射阳县第二初级中学七年级阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b．
（1）对照数轴填写下表：
a
6
-6
2
-1.5
b
4
4
-10
-1.5
A、B两点的距离





（2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和；
（4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ；
（5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并求出最小值 ．
【答案】（1）见表格；（2）d=|a-b|；（3）P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，所有这些整数的和为0；（4）-2、-1、1、2；（5）点C在-1到2之间时，最小值是3．
【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；
（2）根据绝对值的意义即可得到结果；
（3）求出5到-5的距离正好等于10可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；
（4）将（3）中的P点依次尝试即可得到答案；
（5）根据数轴，求出-1到2的距离即为所取得的最小值．
【详解】解：（1）数轴为：

填表如下：
a
6
-6
2
-1.5
b
4
4
-10
-1.5
A、B两点的距离
2
10
12
0

（2）根据绝对值的意义可知，d和a、b的数量关系为：d=|a-b|；
（3）如图，∵5-（-5）=5+5=10，
因此从-5到5范围内所有的整数点都可以使它到5和-5的距离之和为10，
P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，
，
所有这些整数的和为0；

（4）在（3）中满足到5和-5的距离之差大于1且小于5的整数只有-2、-1、1、2，
故答案为：-2、-1、1、2；
（5）|x+1|+|x-2|=|x-（-1）|+|x-2|
∵-1到2的距离是2-（-1）=2+1=3，
∴点C在-1到2之间时，|x+1|+|x-2|取得的值最小，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
17．（2019·广东·江门市第二中学七年级阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b．
(1)对照数轴填写下表：
a
6
－6
－6
－6
2
－1.5
b
4
0
4
－4
－10
－1.5
A、B两点的距离







(2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系?
(3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这些整数的和；
(4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小? 最小值是多少？
【答案】（1）2，6，10，2，12，0；（2）；（3）0；（4）点C在-1和2之间时，取得最小值为3
【分析】（1）根据数轴上的两点，求两点距离即可；
（2）数轴上两点间的距离即为差的绝对值；
（3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线，即可得解；
（4）表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离，该题及转化为数轴上一点到-1和2的距离和最小.
【详解】（1）由题意，得
A、B两点间的距离依次为：2，6，10，2，12，0；
（2）由题意，得

（3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线
故p点一定在5和-5之间
这样的整数点有1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2,-1,0
故它们的和为0；
（4）由题意，得
表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离，
∴点C在-1和2之间时，取得最小值，最小值为3.
【点睛】此题主要考查数轴的性质以及绝对值的应用，熟练掌握，即可解题.
18．（2020·山东潍坊·七年级期末）根据材料，解答问题
如图，数轴上有点，对应的数分别是6，-4，4，-1，则两点间的距离为；两点间的距离为；两点间的距离为；由此，若数轴上任意两点分别表示的数是，则两点间的距离可表示为．反之，表示有理数在数轴上的对应点之间的距离，称之为绝对值的几何意义．

问题应用1：
（1）如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2，则点对应的的值为___________；
（2）方程的解____________；
（3）方程的解______________ ；
问题应用2：
如图，若数轴上表示的点为.
（4）的几何意义是数轴上_____________，当__________，的值最小是____________；
（5）的几何意义是数轴上_______，的最小值是__________，此时点在数轴上应位于__________上；
（6）根据以上推理方法可求的最小值是___________，此时__________．
【答案】（1）-3或1；（2）-7或1；（3）1；（4）点到4的距离；4；0；（5）点到-1和到4的距离之和；5；线段CD；（6）2；2．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解；
（2）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解；
（4）绝对值的几何意义即可求解；
（5）绝对值的几何意义即可求解；
（6）绝对值的几何意义即可求解．
【详解】（1）如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2，则点对应的的值为-3或1，
故答案为：-3或1；
（2）即表示的点距离-3的点距离是4，则的值为-7或1，
故答案为：-7或1；
（3）即表示的点距离-4与6的距离相等，
故m是-4与6的中点，
∴m=1；
故答案为：1；
（4）的几何意义是数轴上点到4的距离，当4，的值最小是0
故答案为：点到4的距离；4；0；
（5）的几何意义是数轴上点到-1和到4的距离之和，的最小值是5，此时点在数轴上应位于线段CD上
故答案为：点到-1和到4的距离之和；5；线段CD；
（6）表示点到1，2，3的距离之和
∴的最小值是2，此时2．
故答案为：2；2．
【点睛】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知绝对值的几何意义．
19．（2021·全国·七年级专题练习）点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 AB， 在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB=|a﹣b|．

请用上面的知识解答下面的问题：
（1）数轴上表示 1 和 5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2 和﹣4 的 两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|=2， 那么 x 为 ；
（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值是 ．
【答案】（1）4；2；4；（2）|x+1|；1 或﹣3；（3）3．
【分析】（1）依据数轴上 A、B 两点之间的距离 AB=|a﹣b|进行计算即可；
（2）数轴上 A、B 两点之间的距离 AB=|a﹣b|列出方程求解即可；
（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值表示数轴上某点到﹣1 和 2 的距离之和，从而可求 得最小值．
【详解】（1）数轴上表示 1 和 5 的两点之间的距离是=|5﹣1|=4； 数轴上表示﹣2 和﹣4 的两点之间的距离=|﹣2﹣（﹣4）|=2； 数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是=|﹣3﹣1|=4；
（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离=|x﹣（﹣1）|=|x+1|；
∵|AB|=2，
∴x+1=±2．
解得：x=1 或 x=﹣3．
（3）|x+1|+|x﹣2|表示数轴上某点到﹣1 和 2 的距离之和．
∴当﹣1≤x≤2 时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，最小值为 3．
【点睛】本题考查的是绝对值、数轴的认识，理解绝对值的几何意义是解题的关键．



【巩固训练】
1．（2020·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）设实数a，b，c满足a>b>c(acc，a-b＞0，b-c＞0，结合|c|0>c，a-b＞0，b-c＞0，
又∵|c||a|，然后即可将所求式子化简．
【详解】解：∵b＜c＜0＜a，|b|>|c|，|b|>|a|，
∴
∴
=
=
=
故选：B．
【点睛】本题考查了借助数轴进行的绝对值化简及整式的加减运算，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2020·贵州铜仁·九年级学业考试）若，则（  ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】先根据题意求得a、b的值，然后再求a-b的值，最后求a-b的绝对值即可．
【详解】解：∵
∴a=±3，b=±5
当a=3，b=5时，a-b=-2
当a=3，b=-5时，a-b=8
当a=-3，b=5时，a-b=-8
当a=-3，b=-5时，a-b=2
所以a-b=±2或±8
所以2或8．
故答案为D．
【点睛】本题考查了绝对值方程和求绝对值，根据题意求得a-b的值是解答本题的关键．
5．（2022·全国·八年级课时练习）若，，且a＞b，则(　　)
A．±8或±2 B．±8 C．±2 D．8或2
【答案】D
【分析】结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a，b的值，又因为a＞b，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a、b的值代入代数式求出两种情况下的值即可．
【详解】∵，|b|=3，
∴a=±5，b=±3，
∵a＞b，
∴a=5，a=-5(舍去) ，
当a=5，b=3时，a+b=8；
当a=5，b=-3时，a+b=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．
6．（2019·江苏泰州·七年级阶段练习）如果是有理数，代数式的最小值是(   )．
A．0 B．1 C．-1 D．没有最小值
【答案】B
【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可．
【详解】∵|5m−6|⩾0，
∴当5m−6=0，即m=时，代数式|5m−6|+1的最小值是1.
故答案为B.
【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于掌握绝对值的值恒大于等于0.

7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则的值是（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
【答案】C
【分析】分两种情况：a＞0，b＞0，和a＜0，b＜0，计算分析即可得解．
【详解】解：当a＞0，b＞0，此时ab＞0，
＝＝1+1﹣1＝1；
当a＜0，b＜0，此时ab＞0，
＝＝﹣1+（﹣1）﹣1＝﹣3
∴值为1或﹣3，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的除法，分类讨论是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级专题练习）对于有理数x，y，若，则的值是（    ）．
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】由，可得异号，再分两种情况讨论，当时， 当时，再化简绝对值即可得到答案.
【详解】解： ，
异号，


当时，
当时，
故选B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键.
9．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：


①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4
(2)，1或-3
(3)

【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．
（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．
（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
(1)
解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；
故答案为：3，3，4；
(2)
解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，
故答案为，1或-3；
(3)
解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．
10．（2019·湖北·武汉市南湖中学七年级阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5两点之间的距离是____．
（2）在数轴上表示数x的点与﹣2的点距离是3，那么x＝　 　．
（3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣2|的最小值是　 　．
（4）如果x表示一个有理数，当x=__________时，|x+3|+|x﹣6|=11．
【答案】（1）2，7；（2）1或-5；（3）6；（4）7或-4
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可得，然后进行求解即可；
（3）判断出为-4与2的距离即可求解；
（4）根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
∴数轴上表示3和5两点之间的距离是2，数轴上表示2和－5两点之间的距离是7；
故答案为2，7；
（2）∵在数轴上表示数x的点与-2的点距离是3，
∴，
∴或，
解得x=1或x=-5；
故答案为1或-5；
（3）如果x表示一个有理数，则的几何意义是：表示有理数x的点到表示-4和2的点的距离之和，
∴当时取得最小值，此时，
∴的最小值是：；
故答案为6；
（4）当时，则，，
∴，
解得（符合题意），
当时，，，
∴，此时不符合题意；
当时，则有，，
∴，
解得，符合题意，
综上所述：当或7时，．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离、绝对值的意义及一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的两点距离、绝对值的意义及一元一次方程的解法是解题的关键．
11．（2022·全国·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3

（1）数轴上1和两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的值为 ；
（3）代数式表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
【答案】（1）；4；（2）；或-1；（3）数轴上表示数x的点到1和两点的距离的和；3
【分析】（1）根据两点间的距离表示即可得到结构；
（2）根据的几何意义就是：数轴上数对应点之间的距离判断即可；
（3）根据两点间的距离表示几何意义即可，然后根据，，计算最小值即可；
【详解】（1）数轴上1和两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是4；
故答案是：；4；
（2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离可以表示为，
由AB=2，得，
∴或，
∴或；
故答案是：；或-1；
（3）由题意可知：代数式表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和两点的距离的和；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
∴最小值是3．
故答案是：数轴上表示数x的点到1和两点的距离的和；3．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键．