初中数学人教版七年级上册1.2.1 有理数达标测试

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2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第一章《有理数》1.3-1.4 有理数的加减乘除知识点1：倒数【典例分析01】（2019秋•高新区校级期中）如果xy＝1，那么①；②；③x，y互为倒数；④x，y都不能为零．其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵xy＝1，∴x，y都不能为零，④是正确的；在xy＝1的两边分别除以x、y得x＝，y＝，∴①，②是正确的；根据倒数的定义得③是正确的．故选：D．【变式训练1-1】（2017秋•启东市校级月考）有以下两个结论：①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则（　　）A．①，②都不对 B．①对，②不对 C．①，②都对 D．①不对，②对解：①因0的相反数是0，0和0之间没有1个有理数，故错误；②因1的倒数是1，1和1之间没有有理数，故错误；故选：A．【变式训练1-2】（2021秋•泾阳县期末）若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是　﹣8　．解：0.125的负倒数为：﹣1÷0.125＝﹣8．故答案为﹣8．【变式训练1-3】写出下列各数的倒数：3，﹣1，0.3，﹣，，﹣3．解：3的倒数是，﹣1的倒数是﹣1，0.3＝，的倒数是，﹣的倒数是﹣，的倒数是4，﹣3＝﹣，﹣的倒数是﹣．知识点2：有理数的加法【典例分析02】（2019秋•舒兰市期中）计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．【变式训练2-1】（2021秋•郏县期中）若|x|＝1，|y|＝3．且x，y异号，则x+y的值为（　　）A．±2 B．2或﹣4 C．﹣2 D．4或2解：∵|x|＝1，|y|＝3，∴x＝±1，y＝±3，又∵x，y异号，∴当x＝1，y＝﹣3时，x+y＝﹣2，当x＝﹣1，y＝3时，x+y＝2，∴x+y＝±2故选：A．【变式训练2-2】（2019秋•通道县期中）已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，则的值是（　　）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3解：∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∵a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，∴a，b，c中有两个负数，一个正数，设a＜0，b＜0，c＞0，∴原式＝＝﹣（）＝﹣（）＝﹣（1﹣1﹣1）＝1．故选：B．【变式训练2-3】（2021秋•东莞市校级期中）7箱橘子，标准质量为每箱15千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：0.3，﹣0.4，0.25，﹣0.2，﹣0.7，1.1，﹣1，称得总质量与总标准质量相比超过或不足多少千克？7箱橘子共有多少千克？解：0.3+0.25+1.1﹣0.4﹣0.2﹣0.7﹣1＝﹣0.65（千克），15×7﹣0.65＝104.35（千克），答：不足0.65千克，共104.35千克．【变式训练2-4】（2020秋•饶平县校级月考）综合图形计算：．解：．＝1﹣＝．知识点3：有理数的减法【典例分析03】（2020秋•谯城区校级月考）若|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，求：a﹣b的值．解：∵|a|＝8，|b|＝5，∴a＝±8．b＝±5．又∵a+b＞0，∴a＝8，b＝5或a＝8，b＝﹣5．当a＝8，b＝5时，a﹣b＝8﹣5＝3；当a＝8，b＝﹣5时，a﹣b＝8﹣（﹣5）＝8+5＝13．∴a﹣b的值为3或13．【变式训练3-1】．（2014秋•敦煌市校级期中）下列结论错误的是（　　）A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0 C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0解：A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0正确，故本选项错误；B、若a＜b，b＞0，则a﹣b＜0正确，故本选项错误；C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0正确，故本选项错误；D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0错误，故本选项正确．故选：D．【变式训练3-2】（2021秋•集贤县期末）点A，B，C是数轴上的三个点，且BC＝2AB．已知点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，点C表示的数是　11或﹣5　．解：∵点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4；又∵BC＝2AB，∴BC＝2×4＝8．①若C在B的右边，其坐标应为3+8＝11；②若C在B的左边，其坐标应为3﹣8＝﹣5；故点C表示的数是11或﹣5．【变式训练3-3】（2018秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，∴﹣2，﹣4，1的“分差”为故答案为： （2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝∴﹣4，﹣2，1的“分差”为③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝∴1，﹣4，﹣2的“分差”为⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝∴1，﹣2，﹣4的“分差”为综上所述，这些不同“分差”中的最大值为故答案为： （3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6①a＝6，b＝x，c＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合②a＝6，b＝﹣1，c＝x，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝若，得x＝2，＜2，不符合若，得x＝﹣7，＞2，符合③a＝x，b＝6，c＝﹣1∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合综上所述，x的值为﹣7或8．14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）列式并计算：（1）什么数与﹣的和等于﹣？（2）﹣1减去﹣与的和，所得的差是多少？解：（1）这个数＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝﹣；（2）﹣1﹣（﹣+）＝﹣1+＝﹣．知识点4：有理数的加减混合运算【典例分析04】（2021秋•金沙县期末）设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b﹣c的值为（　　）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2解：根据题意知a＝1，b＝﹣1，c＝0，则a+b﹣c＝1﹣1+0＝0，故选：A．【变式训练4-1】（2019秋•通州区期末）下列运算正确的是（　　）A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10解：A、﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7，故本选项不符合题意．B、（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5，本选项符合题意．C、（﹣9）﹣（﹣2）＝（﹣9）+2＝﹣（9﹣2）＝﹣7，本选项不符合题意．D、（+6）+（﹣4）＝+（6﹣4）＝2，本选项不符合题意，故选：B．【变式训练4-2】（2021秋•南京期末）小明在计算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣17，则原式从左往右数，第 　6　个运算符号写错了．解：∵1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17＝9，9＞﹣17，∴小明不小心把“+”写成“﹣”，∵9﹣（﹣17）＝26，26÷2＝13，∴小明将+13写错为﹣13，故答案为：6．【变式训练4-3】（2021秋•凌海市期中）计算（﹣1）﹣（﹣9）+（﹣9）﹣（﹣6）的结果是　5　．解：原式＝﹣1+9﹣9+6＝5，故答案为：5【变式训练4-4】（2021秋•盘龙区期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表．与标准重量偏差（单位：千克）﹣2﹣10123袋数5103156（1）这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？（2）大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？解：（1）﹣2×5﹣1×10+0×3+1×1+2×5+3×6＝9千克，即这30袋大米共多出9千克；（2）∵这30袋大米的总质量是：50×30+9＝1509千克，大米单价是每千克5.5元，∴总费用＝1509×5.5＝8299.5元．知识点5：有理数的乘法【典例分析05】（2021秋•郧西县期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a＜0＜b；②|a|＜|b|；③ab＞0；④b﹣a＞a+b；⑤|a﹣b|+a＝b．其中正确的个数是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：由数轴可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|①由a＜0＜b，正确；②由|a|＞|b|可知|a|＜|b|不正确；③由a，b异号，可知ab＜0，不正确；④b﹣a＞0，b+a＜0，∴b﹣a＞b+a，故④正确；⑤|a﹣b|+a＝b﹣a+a＝b，故⑤正确；综上，有②④⑤正确．故选：B．【变式训练5-1】（2021秋•启东市期末）计算：﹣99×18＝　﹣1799　．解：原式＝（﹣100+）×18，＝﹣100×18+×18，＝﹣1800+1，＝﹣1799．故答案为：﹣1799．【变式训练5-2】（2021秋•东城区期末）对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的 　　倍分点，点C是点B到点A的 　　倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是 　1或4　；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围． 解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴点B是点A到点C的倍分点，∵，∴点C是点B到点A的倍分点．故答案为：；；（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．当点E在B，C之间时，∵＝3，∴，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．故答案为：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．②点D在点C的右侧，∵，解得：x＝5，∴x的最大值为5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．【变式训练5-3】（2021秋•东城区校级期中）（﹣+）×（﹣36）解：（﹣+）×（﹣36），＝﹣8+9﹣2，＝﹣1．知识点6：有理数的除法【典例分析06】（2017秋•大兴区期末）计算：﹣×解：原式＝﹣××＝﹣．【变式训练6-1】（2021秋•盐湖区校级期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）A．|a|＞|b| B．a﹣b＜0 C． D．a+b＜0解：由数轴知：a＜0＜b，|a|＜|b|，所以选项A不正确；因为a＜0，b＞0，|a|＜|b|，所以a+b＞0，＜0，故选项C、D不正确；由于小数减大数的差小于0，大数减小数的差大于0，因为a＜b，所以a﹣b＜0．故选项B正确．故选：B．【变式训练6-2】（2019秋•卫辉市期末）若ab≠0，则的值不可能是（　　）A．0 B．1 C．2 D．﹣2解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，综上，原式的值不可能为1．故选：B．【变式训练6-3】（2020秋•金牛区期末）已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为　或　．解：①当a＞b时，a﹣b＞0，∴|a﹣b|＝a﹣b，又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，∴a﹣b＝4a﹣3b，∴3a＝2b，∴的值为；②当a＜b时，a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a+b，又∵|a﹣b|＝4a﹣3b，∴﹣a+b＝4a﹣3b，∴5a＝4b，∴的值为；综上所述，的值为或，故答案为：或．【变式训练6-4】（2019秋•桂林期末）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　．解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．