山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）2023-2024学年高三上学期第一次阶段性考试数学试题

高三第一次阶段性考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知集合，则（    ）．

A．  B．

C． D．

2．设，则（    ）．

A． B． C． D．

3．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（    ）．（，）

A．40 B．41 C．42 D．43

4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面．正确命题的个数为（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．过抛物线，焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B，则（    ）．

A． B． C．1 D．16

6．为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（    ）．

A．9种 B．11种 C．15种 D．30种

7．设实数x，y满足，，，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

8．已知曲线在点处的切线方程为，则（    ）．

A．，  B．，

C．，  D．，

二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）

9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）．

A．频率分布直方图中a的值为0.04

B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C．这100名学生体重的众数约为52.5

D．据此可以估计该校学生体重的75％分位数约为61.25

10．已知圆，下列说法正确有（    ）．

A．对于，直线与圆O有两个公共点

B．圆O与动圆有四条公切线的充要条件是

C．过直线上任意一点P作圆O的两条切线，（A，B切点），则四边形的面积的最小值为4

D．圆O上存在三点到直线距离均为1

11．已知函数，下列命题正确的有（    ）．

A．在区间上有3个零点

B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度

C．的最小正周期为，最大值为1

D．的值域为

12．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段的中点．下列结论正确的是（    ）．

A．直线与垂直

B．若点M坐标为，则直线方程为

C．若直线方程为，则点M坐标为

D．若直线方程为，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知夹角为的非零向量，满足，，则__________．

14．定义在R上的函数，，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________．

15．设x，y均为非零实数，且满足，则__________．

16．正三棱锥的高为，M为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上、下两部分的体积分别为、，则__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，求．

18．（本小题12分）

为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植A后，会有的可能性种植B，的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为，种植C的概率为，在每次种植C的前提下再种植A的概率为，种植B的概率为．

（1）在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率；

（2）在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望．

19．（本小题12分）

如图，在平面四边形中，，，．

（1）试用表示的长；

（2）求的最大值．

20．（本小题12分）

在长方体中，，．点E是线段上的动点，点M为的中点．

（1）当E点是中点时，求证：直线平面；

（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．

21．（本小题12分）

若．

（1）当，时，讨论函数的单调性；

（2）若，且有两个极值点，，证明：．

22．（本小题12分）

如图，椭圆的焦点分别为，，A为椭圆C上一点，的面积最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P、Q（P在上方，Q在下方，且均不与B，D重合）两点，直线，的斜率分别为，，且，求面积的最大值．

数学答案和解析

1．D   2．C   3．C   4．D   5．A   6．C   7．B   8．D

9．ACD    10．BC    11．BC    12．BCD

3．2     14．1     15．1

16．

解：如图（a），连接并延长交于点D，连接并与的延长线交于点E，

过E作，分别与、交于点F，G，

则平面就是过且与棱平行的平面．

（a）                                      （b）

如图（b），过点M作，

由平行线性质与中位线定理得，

设，则，，，．

故，故，

设点A到面距离为h．

因此．

故答案为：．

17．【解析】（1）设数列的公差为d，

则，即．

又因为，所以．所以．（5分）

（2）因为，（7分）

所以．（10分）

18．【答案】解：设，，表示第i次种植作物A，B，C事件，其中，2，3．

（1）在第一次种植B的情况下，第三次种植A的概率为

．（4分）

（2）由已知条件，在第1次种植A的前提下：

，，，

，，，（6分）

因为第一次必种植A，则随机变量X的可能取值为1，2，

，

，

所以X的分布列为：

（8分）

．（12分）

19．解：（1）因为，，，

所以，，（2分）

在中，，

所以．（5分）

（2）在，，

所以．（8分）

因为，所以，

当时，取到最大值．

故的最大值是．（12分）

20．（1）证明：取的中点N，连结，，，

，，

∴四边形为平行四边形，可知．（2分）

平面，平面，

∴平面．（4分）

（2）解：设，如图建立空间直角坐标系．

，，，，（6分）

，，，，（7分）

平面的法向量为，由及得，

平面的法向量为，

由及得，（10分）

，

即，解得或（舍去），

所以．（12分）

21．（1）解：因为，

所以当，时，

．（1分）

令，解得或2．

若，则当或时，；当时，．

所以函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增．

若，，故函数在上单调递增．

若，当或时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（4分）

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减．（6分）

（2）证明：当时，．

因为函数有两个极值点，，所以方程有两个正根，，

所以，且，即．（8分）

由题意得

．（10分）

令，则，

所以在上单调递减，所以，

所以．（12分）

22．【答案】解：（1），

∴，，故椭圆C的方程为．（4分）

（2）依题意设直线的方程为，，，

，，

联立方程组消元得：，

∴，，（6分）

，

由得：，

两边同乘，得，

即．（8分）

将，，

代入上式得：

，

整理得：，所以或（舍），（10分）

，

当且仅当时等号成立，满足条件，

所以面积的最大值为．（12分）