中职高教版（2021）2.3 一元二次不等式教案

这是一份中职高教版（2021）2.3 一元二次不等式教案，共7页。
授课题目 2.3 一元二次不等式选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长3 课时授课类型新授课教学提示本课从一元二次方程和二次函数之间的关系入手，引导学生借助一元二次方程的根和二次函数的图像求解一元二次不等式．   教学目标能知道二次函数的图像，会分析一元二次方程的解与一元二次不等式的解集之间的关系，逐步提高直观想象和和逻辑推理等核心素养；能根据情况，选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程， 结合二次函数的图像解一元二次不等式，逐步提高数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养．教学重点二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，一元二次不等式的解法教学难点一元二次不等式的解法教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图 我们知道，当 a＞0 时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 和二次函数 y＝ax2＋bx＋c 之间有表 2-4 所示结论． 由表中函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像可以看出，图像在?轴上方的部分所对应的函数值? Σ 0，即说明体会从学生    已经了  回顾 解的一    元二次  展示 方程和  关系 二次函 情境引导 数之间 导入学生 的 关系 观察观察入手，利 分析情境用数形   思考结合，提 数形问题出新的  结合 问题，引 分析 导学生
 ax2＋bx＋c＞0，图像在?轴下方的部分所对应的函数值? € 0， 即ax2＋bx＋c＜0．像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax2  bx  c  0 （ a  0 ）．上面不等式中的“  ”也可以换成“  ”、“≥”或“≤”.如，x2  9  0 ，3x2  2x 10 ，2x2  5x  4  0等都是一元二次不等式．我们知道，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，那么我们是能否借助它们之间的关系求解形如ax2＋bx＋c＜0 或 ax2＋bx＋c＞0这样的一元二次不等式呢？  主动思 说明计算考，培养 分析学生直  判断观想象、  逻辑推   理等核   心素养． 举例    提问  引导  学生  思考   下面就先来尝试分析一元二次不等式x2  2x  3  0 和二次函数 y  x2  2x  3 、一元二次方程 x2  2x  3=0 之间的关系.      如图(1)所示，二次函数 y  x2  2x  3 的图像与 x 轴交于两点，方程 x2  2x  3=0 的解是x1  1，x2  3 ，也就是抛物线与 x 轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．提出 师生通  要求体会过具体    的实例，   共同总  数形观察结二次 探索结合 函数、一新知分析 元二次  问题 方程与    一元二    次不等   思考式三者    之间的
 从图中我们可以看出，抛物线与 x 轴的两点交点将 x 轴分成了三部分．如图(2)所示，当-1<x<3 时，函数的图像位于 x 轴的下方，此时 y<0.如图(3)所示，当 x<-1 或 x>3 时，函数的图像位于 x 轴的上方，此时 y>0.由此得到，不等式 x2  2x  3  0 的解集为(- 1,3)；不等式 x2  2x  3  0 的解集为(-∞，-1)∪ (3,+∞)．按照上面的分析，我们就可以得到一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a>0)和 ax2＋bx＋c<0(a>0)的求解方法：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．根据一元二次方程判别式的不同取值情况， 将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下，见下表，假设 x1  x2 . 强调 关系，并  利用数   形结合   进一步 解释 来分析  分析和解决   问题，归  纳总结 归纳领会出一元 总结 二次不   等式的   解法，培  养学生   直观想   象、逻辑  推理和   数学抽  总结象等核  记忆心素养 例 1 求下列一元二次不等式的解集：提问观察通过例 例题（1） x 2  x  6  0 ；（2） x(x  3)  0 ；  题帮助 辨析（3） 2x2  4x  3  0．  学生掌     握一元
 解（1）因为不等式的二次项系数 1＞0，对应方程 x2  x  6=0 的解为x =  2,x   3 ，对应的二次函1 2 数的图像如图所示．所以不等式 x 2  x  6  0 的解集为(-2,3)．（2）因为不等式的二次项系数为 1>0，对应方程 x(x-3)=0 的解为x1=0,x2  3 ，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式 x(x  3)  0 的解集为,0 3,  ． （3）因为不等式的二次项系数为 2>0，对应方程2x2  4x 3=0无实数根（  42  4 2 3  8  0 ），对应二次函数图像如图所示，所以不等式2x2  4x  3  0 的解集为 ．      例2 若 3x2  2x 1 有意义，试求 x 的取值范围．引导 二次不 分析思考等式的   解法，培  养学生 数形求解的数学 结合 运算、直得到 观想象 结论 和逻辑   推理等   核心素 提问观察养引导思考 分析   数形  结合  得到求解 结论   提问   引导 观察 分析   数形  结合思考 得到  结论  
 解 要使 3x2  2 x  1 有意义， x 应该满足不等式3x2  2x 1≥0 ．因为不等式的二次项系数 3>0，对应方程3x2  2 x  1  0 的解为x   1 ,x   1，对应的二次函1 3 2数图像如图所示，所以不等式3x2  2x 1≥0 的解集为(,  1] [1, ) ．3即当 x (,  1] [1, ) 时， 3x2  2x 1 有3意义． 探究与发现 如何求解一元二次不等式 ax2  bx  c  0(a  0) ？ 当二次项系数 a＜0 时，由不等式的性质， 不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a＜0 的情形转化为 a＞0 的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．  例 3 求一元二次不等式 x2  4 x  2  0 的解集． 解 因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式x2  4x  2  0 ，其 对 应 方 程 x2  4x  2=0 的 解 为x1  2    2 ,x2 = 2+   2 ，对应的二次函数图像如图提问求解   引导  思考分析  分析 数形 结合求解得到 结论   提问  思考 引导 分析分析 点明 要点  理解解决 问题  提问 思考  引导  分析分析 
 所示．   所以不等式 x2  4x  2  0 的解集为  （-,2-  2)(2+ 2，+)．数形结合求解即不等式x2  4x  2  0 的解集为得到 （-,2-  2)(2+ 2，+)． 结论  练习 2.3  通过练  1 ．不等式  x  2 x  3  0 的解集为   习及时    ．  掌握学 生的知  A．，2  3，  B．，2] [3， )提问思考识掌握  C．[2, 3] D． 2，3  情况，查 2． 不等式2 x  x2 > 0 的解集为（ ）．  漏补缺 巩固A． ,0 2,  B． 0, 2   练习C． 0,2 D． R 动手  3． 不等式 x2  2x 1 0 的解集为（ ）．巡视求解  A．1 B． ,1  1,     C．R D．     4．求下列一元二次不等式的解集：    （1） 5x2  x  6  0 ； （2） x2  3x 10 ≥0 ；    （3） 2 x2  5 x  3  0 （4） 2x  x2  3  0 ．    （5）x2  2x 1  0 ； （6）4x2 12x  9  0 ；指导交流 
 （7） x2  3x  5  0 ；（8） 2x  x2  3  0． 5．当 x 在什么范围取值时， x2  3x 有意义？6．若一元二次方程 x2  mx  1  0 无实数解，求m的取值范围．       培养学  引导反思生总结 归纳总结总结交流学习过    程能力 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；  巩固提 布置2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回  高，查漏作业顾；说明记录补缺 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．