中职数学高教版（2021）基础模块上册4.4 同角三角函数的基本关系教学设计

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授课题目4.4 同角三角函数的基本关系选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2 课时授课类型新授课 教学提示本课从熟悉的特殊角的三角函数值之间的关系出发，借助三角函数的定义利用单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，学习利用同角三角函数的基本关系进行有关的化简和计算的常见方法．     教学目标经历利用单位圆和三角函数定义推导同角三角函数的平方关系和商数关系的过程，逐步提升逻辑推理等核心素养；熟记同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值，体会“知一求二”，能应用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，并在此过程中可以总结出化简与证明的一般规律，逐步提升逻辑推理和数学运算等核心素养．教学重点关系是推导过程；灵活运用同角三角函数的基本关系式解决求值、推理等问题．教学难点理解和识记两个公式；已知正切值求正弦值和余弦值．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图    情境导入sin  、cos  和tan  之间有什么关系？6 6 6 提问启发引导思考作答交流用熟悉的问题引发学生思考降低学习起点   探索新知利用单位圆，可以求得 sin   1 ，6 2  1 2      3 2cos     3 ， tan     3 ， 且           1，6 2 6 3  2    2 讲解     说明理解     思考结合具体数值搭建思维台阶学生通过观察思考
 1 2    3 ．即 3 3 2    sin sin2   cos2   1, tan  6 .6 6 6 cos 6一般地，设点 P (x,y)是角 α 的终边与单位圆 O 的交点，则|OP|=1，x=cosα， y=sinα.因为 OP =r=   x2  y2 ，所以 x²+y²=1即 sin²α+ cos²α =1显然，当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立．而当   +kk  Z 时，有2y sin tan  = = .x cos 由此得到同角三角函数间的基本关系式：sin2  cos2   1,tan   sin .cos这说明，同一个角 α 的正弦、余弦的平和等于 1，商等于角 α 的正切．        推导    分析       展示     讲解       总结说明  补充说明方 参与知识 形成感受 发现的乐 趣 分析   思考   数形结合 说明问题 帮助学生观察理解 提升直观 想象核心 素养理解    提示思维 的严谨性学习 记忆  深入 思考 
 温馨提示 sin 关 系 式 tan  = 中 的cos   +kk  Z 是指终边在在 y 轴上的角的2正切值不存在.    例 1 已知sin  = 4 ,且角 α 是第二象限角,求5cosα 和 tanα．解 因为 sin²α+cos²α=1，所以  4 2   3|cosα|=   1－sin2α = 1     =   ． 5  5又因为 α 是第二象限角，所以 cosα＜0，因此cosα=  3 ，5从而 4 tan  = sin  =  5 4 ．  cos  3 35例 2 已知 tanα=−  5,且 α 是第四象限角.求sinα 和 cosα．解 由题设及同角三角函数间的基本关系， 得方程组：sin2  cos2  1 (1) sin cos     5 (2) 由(2)式得 sinα=−  5cosα，代入(1)，得（−  5cosα）2 + cos2α =1，1即 6cos2α =1，所以 cos2α = 6，因此提问思考例 1 和例   2  强调综   合运用同 引导分析角三角函   数基本关   系与算数 讲解解决根有关知   识解决问   题掌握常 强调交流用解决问   题方法和例题  思路辨析  例 3 利用 提问思考同角三角   函数进行   恒等变形 引导分析解决问题   例 4 学习   三角恒等 讲解解决式证明的   常用方法   锻炼学生 强调交流灵活运用   公式能力
 |cosα| =  6 ．6因为 α 是第四象限角，cosα＞0．所以cosα =  6 ，6 sinα = −   5cosα =−   5×   6   30 ．6 6例 3  化简： sin   cos ．tan  1解 由于tan  1  sin  1  sin   cos ,cos cos故  sin   cos   sin   cos   = cos tan  1 sin   cos .cos例 4  求证： sin    = 1  cos ．1+ cos sin 证明 因为    sin     1- cos sin2  1- cos2   sin2  sin2 -       0 1 cos sin  1 cos sin                            (1 cos) sin所以   sinα 1−cosα 1+cosα=   sinα ．例 5  已知 tanα=2，求 3sin  +4 cos ．2sin  cos 解 法 一 由 tanα=2, 得 sin  =2  , 即cossinα=2cosα, 所以 解法二    体会化归  思想方法  例 5 渗透  “数学的提问思考逻辑美” 引导 分析  讲解 解决  强调 交流   提问  思考 引导分析 讲解解决 强调交流   提问  思考  引导 分析  讲解 解决  强调 交流 
 探究与发现 sinα+cosα 与 sinαcosα 之间有什么关系？提出问题思考交流  练习 4.41．已知cos   2 且 α 是第三象限角，2求 sinα 和 tanα．2．已知sin   3 且 α 是第二象限角，求2cosα 和 tanα．3．已知tan  3 且 α 是第一象限角，求4sinα 和 cosα．4．化简：(1)cosαtanα； (2)  2 cos2  1 ；1 2sin2 (3)  1 sin2  ，其中 α 为第二象限角．5．已知 tanα= −4，求下列各式的值： (1) sin   cos ； (2) 1sin   cos cos2   sin2 6．求证： 1+ sin  =  cos   ．cos 1  sin 7．化简： 1 2sin  cos ，其中 α 为第一象限角．  提问  思考  通过练习   及时掌握   学生的知   识掌握情   况，查漏   补缺 巩固 巡视 动手 练习 求解      指导    交流   归纳总结 引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；说明记录继续探究布置2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习  延伸学习作业与回顾;    3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.