数学基础模块 下册第6章 直线与圆的方程6.2 直线的方程教学设计

这是一份数学基础模块 下册第6章 直线与圆的方程6.2 直线的方程教学设计，共7页。

授课
题目
6.2 直线的方程
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课


教学提示
本课首先借助几何直观，结合图像认识直线的倾斜角和斜率的定义，直观认
识斜率与倾斜角的之间的变化规律以及求直线斜率的计算公式，学习根据条件计算直线的斜率；然后依次介绍点斜式、斜截式、一般式三种形式的直线方程， 并分析点斜式、斜截式方程的几何特征；学习根据已知条件求直线的方程，以及将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化.


教学目标
通过学习直线的倾斜角与斜率的概念与直线斜率的计算方法，能计算直线
的斜率，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养；体会直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程的推导过程，感知直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程之间的互化思想方法，会根据条件求相应形式的直线方程并进行直线的点斜式方程、斜截式方程与一般式方程之间的互化，逐步提升直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养.
教学
重点
斜率的概念，过两点直线斜率的计算公式；直线的点斜式、斜截式和一般式
方程公式的理解及互化.
教学
难点
直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公
式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图


情境导入
6.2.1. 直线的点斜式方程与斜截式方程
随着科技的不断发展,我国基础设施建设越来越完善, 高速公路总里程已超过 16 万公里,位居世界第一.如果把高速公路的某一段近似看成一条直线,其相对于水平地面的倾斜程度怎样表示呢？
提出
问题

引发思考
思考
分析回答
结合
生活常识思考










探索新知
我们知道，两点可以确定一条直线,若已知两个点的坐
标,是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？
在平面直角坐标系中,如图,过点 P 可以做出无数条直线,这些直线相对于 x 轴来说，其倾斜程度是不同的.


在平面直角坐标系中,直线的倾斜程度可以用直线 l 与
x 轴所成的角度表示.当直线 l 与 x 轴相交时, 直线 l 向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 α,称为直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定倾斜角 α=0.
因此, 直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 0≤α＜π.
讲解



说明




展示





讲解
理解



思考




领会





理解
结合
图像分析问 题， 逐步提升直观想象核心素养




在平面直角坐标系中,若直线 l 的倾斜角为 α,称倾斜
æ p ö
角 α ça ¹ 2 ÷的正切值为直线 l 的斜率,用小写字母 k 表
è ø
示,即
k=tanα.
设点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)为直线 l 上的任意两点.


当 x1=x2 时,如图(1)所示, 直线 l 与 x 轴垂直, a = p ,
2
tanα 不存在,此时直线的斜率不存在.
当 x ≠x 且0 ≤a < π 时,如图(2)所示,直线的斜率
1 2 2
k = tan a = y2 - y1 .
x2 - x1
当 x ≠x 且 p < a

1 2 2
k = tan a = tan(p- a ) = - tan a = - P2 P = y2 - y1 .
1 1 PP x - x
1 2 1
综上, 设 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) 为直线上任意两点, 且
x1≠x2,则直线的斜率为:
k = y2 - y1 .
x2 - x1
公式称为直线的斜率公式.




展示图形引发思考





展示图形引发思考







引领分析




结合图形思考问题





结合图形分析和交流





思考交流



























数形结合方法分析特殊情 况， 渗透分类讨论思想






例题辨析
例 1 已知下列各直线满足的条件,分别求直线的斜率.
(1) 直线与 x 轴平行；
(2) 直线的倾斜角为 p ；
4
(3) 直线经过点 M(-2,2)与点 N(3,-4).
解 (1) 因为直线与 x 轴平行,倾斜角 α=0,所以斜率
k=tan0=0；
(2) 因为直线的倾斜角为 p ,所以斜率
4
k = tan p =1
4
(3) 因为直线过点 M(-2,2)与点 N(3,-4),所以斜率
提问
引导

讲解强调
思考
分析

解决交流
斜率
公式的初步应用， 注意强调直线与 x 轴平行情



k = -4 - 2 = -6 = - 6 . 3 - (-2) 5 5
例 2 已知直线的斜率为-1,求直线的倾斜角.
解 因为直线的斜率 k=tanα=-1,且 0≤α＜π,所以直线的倾
斜角a = 3p .
4


提问引导讲解强调


思考分析解决交流
况

引导学生加深理解











巩固练习
练习 6.2.1
1. α 表示直线 l 的倾斜角，k 表示直线 l 的斜率，完成下表：



2.分别求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角. (1)A(1,1) ,B(2,0)；
(2)P(5, - 3 ）,Q(4,0)；
(3) M (2,0) , N (5, - 3) .
3.已知点 P( 3,1) ,Q(-1,a),若直线 PQ 的斜率为1, 求实数 a 的值.
4.已知点 A(m, 0), B(0, 3) 在直线l 上，若直线l 的倾斜
p
角为 ，求实数 m 的值.
3
提问







巡视







指导
思考







动手求解





交流
及时
掌握学生掌握情况查漏补缺




情境导入
6.2.2. 直线的点斜式方程与斜截式方程
我们知道，根据平面内直线上的一点以及直线的倾斜角能画出一条直线. 在平面直角坐标系中，已知一个点的坐标 P(x0,y0)和直线的斜率 k，如何写出一
条直线 l 的方程？

引导学生联系实际问题思考

分析思考交流
以实
际问题创设情境， 引发学生思考






探索新知
1. 直线的点斜式方程
设点 P(x,y)为直线 l 上异于点 P0(x0,y0)的任意一点,它与 P0(x0,y0)连线的斜率 k 是确定的,由直线的斜率公式,得
k = y - y0 ,
x - x0
即
y-y0=k(x-x0).
方程是由直线上一点 P0(x0,y0)及斜率 k 确定的,因此称为直线的点斜式方程.
当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=y0.此时直线 l 平行于 x
轴(或与 x 轴重合),如图(1)所示.
讲解



说明




展示讲解
理解



思考




领会理解
归纳
概念突出强调规范表述和注意事项 强调特殊



当斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=x0.此时直线 l 平
行于 y 轴(或与 y 轴重合),如图(2)所示.


(1) (2)

展示图像

观察思考
情况
下直线的方程















例题辨析
例 3 分别求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)直线经过点 A(1, 2) ,斜率为 1 ；
2
(2)直线经过点 A(2,3) ,倾斜角为 p ；
6
(3)直线经过点 M(2,3),N(-1,-3).
解 (1)直线过点 A(1, 2) 且斜率 k= 1 ,由直线的点斜式方程,
2
得
y - 2 = 1 (x - 1) ，
2
即 x - 2 y + 3 = 0 ;
(2)由直线的倾斜角a = p ,得k = tan p = 3 ,
6 6 3
又因为直线经过点 A(2,3), 由直线的点斜式方程, 得
y - 3 = 3 (x - 2)
3
即 3x - 3y + 9 - 2 3 = 0 .
(3)直线经过点 M(2,3),N(-1,-3),由直线的斜率公式，得
k = -3 - 3 = -6 = 2,
-1 - 2 -3
直线的点斜式方程为
y-3=2(x-2).
即 2x-y-1=0.
提问




引导





讲解







强调
思考




分析





解决







交流
直接
应用公式解决问 题， 巩固基础知识在已有知识的基础上， 引导学生掌握点斜式方程的
求法








探索新知
2. 直线的斜截式方程
一般地，把直线 l 与 y 轴交点(0,b)的纵坐标 b 称为直线 l 在 y 轴上的截距,与 x 轴交点
(a,0)的横坐标 a 称为直线 l 在 x 轴上的截距.
若直线 l 的斜率为 k,
且与 y 轴轴的交点为(0,b),则直线的点斜式方程为：
y-b=k(x-0),
讲解



说明




展示
理解



思考




领会
归纳
概念突出强调规范表述和注意事项



即 y=kx+b.
方程是由直线的斜率 k 及直线在 y 轴上的截距确定的,因此称为直线的斜截式方程.





例题辨析
例 4 设直线 l 的斜率是 3 ,在 y 轴上的截距是-2,写出直线
l 的斜截式方程.
解 由直线的斜截式方程，得

y = 3x + (-2) ,
即 y = 3x - 2 .
提问
引导



讲解强调
思考
分析



解决交流
根据
几何意义直接得到答案















巩固练习
练习 6.2.2
1.填空题：
(1)若直线的点斜式方程是 y-2=x-1，则直线的斜率为
,倾斜角为 .
(2)若直线的点斜式方程是 y - 2 = 3(x +1) ，则直线的斜率为 ，倾斜角为 .
(3)若直线的斜截式方程是 y = 2x+3 ，则直线的斜率为
，直线在 y 轴上的截距为 .
2.判断点 A(2, 3) , B(4, 2) 是否在直线 y = 1 x + 2 上.
2
3.分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
(1)经过点 A(1,3),斜率为 4；
(2)经过点 B(2,-5)、D(3,0);
(3)经过点 C(- 2，2 ),倾斜角为 p .
6
4.分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程：
(1)斜率是-2,在 y 轴上的截距是 4；
(2)倾斜角是 p ,在 y 轴上的截距是 3.
3
(3)斜率是 1,在 x 轴上的截距是-2；
2
p
(4)倾斜角为 ,并且经过点 A(3, 2) .
4
5. 已知直线的倾斜角是 2p ,在 y 轴上的截距为4,分别
3
写出直线的点斜式和斜截式方程.
提问







巡视








指导
思考







动手求解







交流
及时
掌握学生掌握情况查漏补缺



情境导入
6.2.3 直线的一般式方程
直线的点斜式方程 y-y0=k(x-x0)可化为
kx-y+y0-kx0=0， 直线的斜截式方程 y=kx+b 可化为
kx-y+b=0 ，
因此,直线的点斜式方程和斜截式方程都可化为二元一次方程,那么二元一次方程 Ax+By+C=0 是否可以表示一条直线呢？

提出问题

引发思考

思考问题

交流结果

从知识的联系引出新的问题
探索新知
当 B≠0 时,二元一次方程 Ax+By+C=0 可化为
y = - A x - C ,
B B
讲解

说明
理解

思考
归纳
概念突出



它表示斜率为- A ,在 y 轴上截距为- C 的直线.
B B
当 B=0 时,此时一定有 A≠0,二元一次方程 Ax+By+C=0
可化为
x= - C ，
A
它表示经过点æ - C ö 且垂直于 x 轴的直线.
ç A ,0 ÷
è ø
由上面的讨论可知,二元一次方程
Ax+By+C=0
表示一条直线,方程称为直线的一般式方程.
这样，平面中的直线与二元一次方程就建立了一一对应关系.

展示讲解






介绍

领会理解






记忆
强调
规范表述和注意事项









例题辨析
例 5 已知直线经过点 A(2,5)和 B(1,4), 写出它的一般式方
程.
解 设直线的一般式方程为 Ax+By+C=0,因为直线经过点A(2,5)和 B(1,4),所以有:
ì2 A + 5B + C = 0,
í A + 4B + C = 0.
î
解得 A = -B, C = -3B
所以,直线的一般式方程为
x - y + 3 = 0.
例 6 求直线 2x-3y+6=0 的斜率及直线在 y 轴上的截距.
解 将直线的一般式方程 2x-3y+6=0 化为直线的斜截式方
程: y = 2 x + 2 ,
3
由此得直线的斜率为 2 ,在 y 轴上的截距为 2.
3
提问
引导



讲解强调





提问引导


讲解强调
思考
分析



解决交流





思考分析


解决交流
采用
待定系数法的同时鼓励学生多种方法求解引导学生直接写出结果







巩固练习
练习 6.2.3
1.写出直线 x+2y+6=0 的斜截式方程.
2.求下列直线的斜率,并将方程化为直线的一般式方
程.
(1) y = 2x + 3 ; (2) y + 2 = - 2 ( x - 1) .
3
3. 在方程 Ax+By+C=0 中,当 A、B、C 满足什么条件时, 方程表示的直线符合下列条件？
(1)平行于 x 轴; (2)平行于 y 轴.
4.求满足下列各条件的直线的一般式方程.
(1)经过点 A(2,1)、B(-5,4);
(2)在 y 轴上的截距为-3,且与 x 轴平行.
5.已知直线经过点 A(2,5),倾斜角为 p ,分别求出该直
4
线在 x 轴与 y 轴上的截距.
提问







巡视





指导
思考







动手求解




交流
及时
掌握学生掌握情况查漏补缺




归纳总结

引导

提问
回忆

反思
培养
学生总结学习过程能力

布置作业
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续
探究延伸学习