中职数学6.5 直线与圆的位置关系教案

授课

题目

6.5 直线与圆的位置关系

选用教材

高等教育出版社《数学》

（基础模块下册）

授课

时长

2 课时

授课类型

新授课

教学提示

本课通过实例介绍直线与圆的位置关系，采用数形结合的方式，利用比较半

径与圆心到直线的距离大小来判定直线与圆的位置关系，通过例题学习求圆的切线方程以及直线与圆相交所得的弦长. 

教学目标

能识别直线与圆的位置关系，会通过比较半径与圆心到直线的距离大小的

方式来判定直线与圆的位置关系，会求直线与圆相交时的弦长，会求圆的切线方程，逐步提升直观想象、数学抽象等核心素养.

教学

重点

根据给定直线和圆的方程，判别直线与圆的位置关系.

教学

难点

直线与圆位置关系的判定.

教学

环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

在日落过程中,太阳和海平面有三种位置关系.如果把

太阳看作一个圆,海平面看做一条直线,这三种位置关系是否可以通过直线和圆的方程表示？

提出

问题

引发思考

思考

分析回答

结合

生活常识思 考， 增加问题的直观性

探索新知

在平面几何中,我们已经知道直线与圆的三种位置关

系,如图所示.

当直线与圆没有公共点时,直线与圆相离;

当直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交.

观察上图可知,直线与圆的位置关系可以由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断.

(1)    直线 l 与圆 C 相离 d  r ；

(2)    直线 l 与圆 C 相切 d  r ；

(3)    直线 l 与圆 C 相交 d  r .

讲解

说明

展示

理解

思考

领会

对比

一般曲线与方程的关 系， 数形结合方式更加针对性和简洁

例题辨析

例 1 判断直线 l:2x+y+5=0 与圆 C:x2+y2-10x=0 的位置关系.

解法一 将圆的方程 x2+y2-10x=0 化为圆的标准方程

(x-5)2+y2=25,

则圆心坐标为(5,0)，圆的半径为 r=5.

因为圆心 C (5,0)到直线 l:2x+y+5=0 的距离

d   2  5  1 0  5  15  3  5  5 ，

22  12 5

即 d>r,所以直线与圆相离.

解法二 将直线 l 与圆 C 的方程联立,得方程组

 2x  y  5  0, ①

x2  y2 10x  0. ②



由①得

y=-2x-5，

代入②有

x2+(-2x-5)2-10x=0,

化简得

x2+2x+5=0.

因为 Δ=22-4×1×5=-16<0,所以方程组没有实数解,即直线 l 与圆 C 没有交点,直线与圆相离.

直线与圆相切，称直线为圆的切线. 探究与发现

在平面直角坐标系中,如果过点 P 能作出圆的切线,那么,如何求这条切线的方程呢?

可以看出:

(1)点 P 在圆 C 上,过点 P 只能作一条直线与圆 C 相

切；

(2)点 P 在圆 C 外,过点 P 可以作两条直线与圆 C 相切

(3)点 P 在圆 C 内,过点 P 不存在与圆 C 相切的直线. 例 2 经过下列各点与圆 C:(x+1)2+(y-1)2=4 有几条切线？

(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).

解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为 C(-1,1),圆的半径 r=2.

(1)点 P(0,-2)到圆心 C 的距离为

CP    [0  (1)]2  (2  1)2     10  2 ,

即|CP|>r,所以点 P 在圆外,过点 P 有两条直线与圆 C 相切.

(2)点 Q(1,1)到圆心 C 的距离为

CQ  [1  (1)]2  (1  1)2   2 ,

即|CQ|=r,所以点 Q 在圆上,过点 Q 有且只有一条直线与圆

提问

引导

讲解强调

提出问题

提示引领

提问引导

讲解

思考

分析

解决交流

思考讨论

交流结果

思考分析

解决

利用

两种方法给出解 答， 复习初中的知识， 也是对新学习知识的巩固和加深

提升认识引出新知

与练习 2 讲练结

C 相切.

(3)点 R(0,2)到圆心 C 的距离为

CR    [0  (1)]2  (2  1)2     2  2 ,

即|CR|<r,所以点 R 在圆内,过点 R 不存在与圆 C 相切的直线.

例 3 已知圆 O:x2+y2=1,判断过点Q(0, 2) 与圆 O 有几条切线,并求切线方程.

分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率 k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定 k.

解 由圆 O:x2+y2=1,得圆心坐标为 O(0,0),半径 r=1.因为

CQ    (0  0)2 +(  2  0)2    2 ，

即|OQ|>r,所以点 Q 在圆外,过点 Q 与圆 O 有两条切线.

设所求切线 l 的斜率为 k,切线过点Q(0,   2) ,则切线 l

的方程为

y    2  kx ,

即 kx  y  2  0 .

圆心 O 到切线 l 的距离为

k  0  0  2 2

d             .

k 2  12 k 2  1

因为圆心到切线的距离等于圆的半径,所以

2  1,

k 2 1

化简得 k2+1=2,解得 k1=1,k2=-1,所以切线的方程为

y    2 =x 和 y  2=  x ,

即 x  y    2  0 和 x  y    2  0 .

探究与发现

在平面直角坐标系中,如果直线 l 与圆 C 相交,那么,如何求两个交点之间的距离呢？

当直线l:Ax+By+C=0 与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 相交于 P 和 Q 两点时,线段 PQ 为圆的一条弦.我们要求的是这条弦的长度.

强调

交流

合，

加深

对问

题的

认识

提问

思考

蕴含

着待

定系

数法

引导

分析

和解

析法

等数

学方

讲解

解决

法

强调

交流

因为圆心 C 与弦 PQ 的中点 R 的连线垂直且平分弦

PQ,故|PQ|=2 PR  2  r2  d 2 .

(1) (2)

例 4 已知直线 x+y=2 与圆(x-1)2+(y+2)2=9 相交于 P 和 Q 两点,求弦 PQ 的长度.

解法一 由圆的方程(x-1)2+(y+2)2=9 可知圆心坐标为

C(1,-2),圆的半径为 r=3.因为圆心到直线 x+y-2=0 的距离为

d  11  1 (2)  2     3   3  2 .

12  12 2 2

故弦 PQ 的长度为

| PQ | =2   r2  d 2   2  9  9  3  2 .

2

x  y  2,

解法二 解方程组(x  1)2  ( y  2)2  9, 得直线与圆的交



点坐标为 P(4,-2)和 Q(1,1).由两点间距离公式,得

| PQ | = (1  4)2  [1  (2)]2  3 2 ， 故弦 PQ 的长度为3   2 .

提出问题

展示图形

引领

提问引领

讲解

强调

思考交流

分析特征

思考

思考分析

解决

交流

用问题引出新知

数形结 合， 提升直观想象核心素养

是已有知识的应用与延伸， 与练习题的 5 题讲练结合

巩固练习

练习 6.5

1.填空：

(1)直线 l 与圆 C 相交,则直线 l 和圆 C 有     个公共点;

(2)直线 l 与圆 C 相切,则直线 l 和圆 C 有     个公共点.

2. 已知圆 C:x2+y2=1,

点 A(1,0)、B(1,1)、C(0,1).

(1)过点 A(1,0)且与圆

C:x2+y2=1  相切的直线有

   条,切线斜率为   ;

(2) 过点 B(1,1) 与圆

C:x2+y2=1  相切的直线有

   条,切线斜率为    ；

(3)过点 C(0,1)与圆 C:x2+y2=1 相切的直线有  条,切

提问

巡视

指导

思考

动手求解

交流

及时

掌握学生掌握情况查漏补缺

线斜率为    .

3.判断下列直线与圆的位置关系：

(1)直线 x+y=2，圆 x2+y2=2；

(2)直线 y=3，圆(x-2)2+y2=4；

(3)直线 2x-y+3=0，圆 x2+y2-2x+6y-3=0.

4.求过点 P(3,2),且与圆(x-2)2+(y-1)2=1 相切的方程.

5.  已知直线 x+y+1=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=16 相交 P 和

Q 两点,求弦 PQ 的长度.

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生总结学习过程能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续

探究延伸学习