高教版（2021·十四五）基础模块 下册6.6 直线与圆的方程应用举例教案设计

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授课题目6.6 直线与圆的方程应用举例选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块下册）授课时长1 课时授课类型新授课教学提示本课通过数学建模，借助光线反射和台风区域的实际问题，学习解决与直线方程和圆的方程有关的实际问题，同时帮助学生体会直线和圆的方程在科技和生产实践等方面的应用.  教学目标能用直线方程与圆的方程解决较简单的实际问题，逐步提升数学建模和数学运算等核心素养.教学重点用数学知识解决实际问题.教学难点建立数学模型，解决实际问题教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图      情境导入从点 P(2,3)射出一条光线,经过 x 轴反射后过点 Q(-3,2),求反射点 M 的坐标. 提出问题    引发思考思考     分析讨论借助直线在科技领域中的应用创设情境    探索新知解 根据光的反射定律可知,点 Q 关于 x 轴的对称点Q’、反射点 M、发光点 P 三点共线,所以点 M 为直线 PQ’与 x 轴的交点.点 Q(-3,2)关于 x 轴的对称点 Q’的坐标为 (-3,-2),故直线 PQ’的斜率为k  3  (2)  1, 2  (3)故直线 PQ’的点斜式方程为 y-3=x-2,即 y=x+1,直线与 x 轴的交点坐标为(-1,0),故反射点 M 的坐标为(-1,0).讲解   说明   展示理解   思考   领会展示知识解决问题的一般策略和基本步骤    情境导入一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西 240km 处,受影响的范围是半径为 90km 的圆形区域.港口位于台风中心正北 120km 处, 如果这艘轮船仍沿原航线航行,是否会受到台风的影响?提出问题    引发思考思考     分析讨论关注数学知识在实际中的应用
                探索新知分析 这个实际问题可转化为数学问题:若轮船不改变航线,则需考虑轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影响范围为半径的圆的位置关系,相交或相切会受到影响,相离则不会受到影响.解 建立直角坐标系，以台风中心为原点，轮船和台风中心对应位置的连线为 x 轴,以 10km 为单位长度.设台风中心、轮船、港口对应位置分别为点 O、P、Q， 则它们的坐标分别为 O(0,0)、P(24,0)、Q(0,12).设轮船航线所在直线 PQ 的斜率为 k，则k  12  0    1 ，0  24 2由直线的斜截式方程得1y=-2x+12,即 x+2y-24=0.台风影响的区域是以 O(0,0)为圆心, r=9 为半径的圆形区域.  因为圆心 O(0,0)到直线 PQ 的距离为d  1 0  2  0  24  24  9 ，12  22 5即 d>r,所以轮船航线所在直线与以台风中心为圆心,90km为半径的圆相离,轮船可沿原航线航行,不会受到台风影响.讲解   说明   展示理解   思考   领会展示知识解决问题的一般策略和基本步骤   巩固练习练习 6.61.从点 P(1,4)射出一条光线,经过 x 轴反射后过点Q(-4,2),求反射点 M 的坐标.2.我国的赵州桥是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整单孔坦弧敞肩石拱桥,它的跨度是 37.02m,圆拱高约 7.2m,求圆拱所在圆的方程.3.某圆拱桥的跨度是 20m，圆拱高 4m，现有宽 10m 的船,水面以上高 3m,船能否从桥下通过?提问   巡视   指导思考   动手求解 交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺  归纳总结 引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力 布置作业1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习