(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第3章 第3讲　函数的奇偶性及周期性 (2份打包，原卷版+教师版)

第3讲　函数的奇偶性及周期性

一、知识梳理

1.函数的奇偶性

[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

[注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.

常用结论

1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝﹣f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝﹣，则T＝2a(a>0).

二、教材衍化

1.下列函数中为偶函数的是(　　)

A.y＝x2sin x        B.y＝x2cos x     C.y＝|ln x|        D.y＝2﹣x

2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1)时，f(x)＝

则f()＝________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(﹣x)＋f(x)＝0.(　　)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数.(　　)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)

二、易错纠偏

(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；

(2)周期不能正确求出从而结果求错.

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.

2.已知函数f(x)满足f(x＋2)＝﹣.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝________.

考点一　函数的奇偶性(基础型)

结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和研究函数的性质.

核心素养：数学抽象、直观想象

角度一　判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)＝x3﹣；  (2)f(x)＝＋；  (3)f(x)＝

判定函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法

①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”.

[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(﹣x0)＝﹣f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数.

角度二　函数奇偶性的应用

设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A.e﹣x﹣1        B.e﹣x＋1    C.﹣e﹣x﹣1        D.﹣e﹣x＋1

已知函数奇偶性可以解决的3个问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值.

1.设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)

A.|f(x)|是偶函数           B.﹣f(x)是奇函数

C.f(x)|f(x)|是奇函数        D.f(|x|)f(x)是偶函数

2.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝(　　)

A.2        B.4      C.﹣2        D.﹣4

3.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2﹣x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________.

考点二　函数的周期性(基础型)

结合具体函数了解函数的周期性.

核心素养：数学抽象

(1)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x﹣1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(﹣5)＝f(4.5)，则a＝(　　)

A.0.5        B.1.5      C.2.5        D.3.5

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3﹣x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)

A.2        B.3         C.4        D.5

函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

　已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝﹣，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x﹣1.则f(17)＝________，f(20)＝________.

考点三　函数性质的综合问题(综合型)

解决函数综合问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解.

角度一　单调性与奇偶性的综合问题

已知定义域为(﹣1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a﹣3)＋f(9﹣a2)<0，则实数a的取值范围是(　　)

A.(2，3)        B.(3，)     C.(2，4)        D.(﹣2，3)

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.

角度二　周期性与奇偶性的综合问题

已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x﹣1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f()＝________.

【迁移探究】(变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数y＝f(x＋1)为奇函数，当0≤x<1时，f(x)＝x2，则f()＝________.

周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.

角度三　单调性、奇偶性与周期性的综合问题

(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2﹣x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x﹣1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(　　)

A.(1,]         B.[,]    C.[,3)        D.[2，3)

(2)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2﹣x)＝0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x﹣1)为奇函数；④函数f(x﹣3)为偶函数，其中真命题的个数是(　　)

A.1        B.2      C.3        D.4

函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用.

函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2﹣x).若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)

A.在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B.在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C.在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D.在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

[基础题组练]

1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A.y＝        B.y＝|x|﹣1     C.y＝lg x        D.y＝()|x|

2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(﹣2)＝(　　)

A.﹣3        B.﹣      C.        D.3

3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)

A.(﹣∞，﹣3)        B.(3，＋∞)

C.(﹣∞，﹣1)        D.(1，＋∞)

4.若f(x)是定义在(﹣∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)

A.f(3)<f(1)<f(﹣2)        B.f(1)<f(﹣2)<f(3)

C.f(﹣2)<f(1)<f(3)        D.f(3)<f(﹣2)<f(1)

5.已知f(x)是定义在[2b，1﹣b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为(　　)

A.[-1,]         B.[-1,]     C.[﹣1，1]         D.[,1]

6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(﹣1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(﹣1)＝4，则g(1)等于________.

7.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(﹣2))＝________.

8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2﹣x)及f(x)＝﹣f(﹣x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则f(2019)＝________.

9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1﹣x)，当﹣1≤x≤0时，f(x)＝﹣x.

(1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[﹣1，2]上的表达式.

10.设f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝﹣f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当﹣4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.

[综合题组练]

1.(多选)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是(　　)

A.f(x)＝sin x      B.f(x)＝3x﹣()x         C.f(x)＝x3﹣3x     D.f(x)＝x|x|

2.(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　)

A.f(x)为奇函数           B.f(x)为周期函数

C.f(x＋3)为奇函数        D.f(x＋4)为偶函数

3.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(﹣a)＝________.

4.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝﹣f(x)且f(x)在[﹣1，0]上是增函数，给出下列几个命题：

①f(x)是周期函数；

②f(x)的图象关于x＝1对称；

③f(x)在[1，2]上是减函数；

④f(2)＝f(0)，

其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)

5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f(+x)＝﹣f(-x)成立.

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值.

6.已知函数y＝f(x)在定义域[﹣1，1]上既是奇函数又是减函数.

(1)求证：对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1﹣a)＋f(1﹣a2)＜0，求实数a的取值范围.