(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第3章 第5讲　指数与指数函数 (2份打包，原卷版+教师版)

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第5讲　指数与指数函数


一、知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1).
②＝
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a﹣＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar﹣s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).




3.指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1)
a>1
0 图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 当x>0时，0 当x<0时，y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
常用结论
1.指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
3.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0 二、教材衍化
1.化简(1)＝________. (2)＝________.
答案：(1)a　(2)1﹣4x﹣1
2.函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于________对称.
解析：作出y＝2x与y＝2﹣x＝()x的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称.
答案：y轴
3.已知函数f(x)＝ax﹣2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________.
解析：令x﹣2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3).
答案：(2，3)

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a.(　　)
(2)(﹣1)＝(﹣1)＝.(　　)
(3)函数y＝a﹣x是R上的增函数.(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)
(5)函数y＝2x﹣1是指数函数.(　　)
(6)若am0，且a≠1)，则m 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错；
(2)不理解指数函数的概念出错；
(3)忽视底数a的范围出错.
1.化简(x<0，y<0)得(　　)
A.2x2y　 B.2xy C.4x2y D.﹣2x2y
解析：选D.因为x<0，y<0，
所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝﹣2x2y.
2.若函数f(x)＝(a2﹣3)·ax为指数函数，则a＝________.
解析：由题意知即a＝2.
答案：2
3.若函数f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝________.
解析：当a>1时，a＝2；当0 答案：2或




考点一　指数幂的化简与求值(基础型)
理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
核心素养：数学运算
1.计算：＝________.
解析：原式＝﹣＋＋10＝10.
答案：10
2.化简：的结果为________.
解析：原式＝﹣6ab﹣1＝﹣.
答案：﹣
3.计算：＝________.
解析：原式＝＋100＋﹣3＋＝100.
答案：100
4.已知x＋x＝3，则x2＋x﹣2＋3＝________.
解析：由x＋x＝3，得x＋x﹣1＋2＝9，所以x＋x﹣1＝7，所以x2＋x﹣2＋2＝49，
所以x2＋x﹣2＝47，所以x2＋x﹣2＋3＝50.
答案：50


[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.


考点二　指数函数的图象及应用(基础型)
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数的函数的图象及特殊点.
核心素养：直观想象
(1)函数f(x)＝21﹣x的大致图象为(　　)

(2)若函数y＝|3x﹣1|在(﹣∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________.
【解析】(1)函数f(x)＝21﹣x＝2×()x，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求.

(2)函数y＝|3x﹣1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.
由图象知，其在(﹣∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(﹣∞，0].
【答案】　(1)A　(2)(﹣∞，0]
【迁移探究1】　(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x﹣1|﹣k有一个零点，则k的取值范围为________.
解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x﹣1|与y＝k有一个交点.由本例(2)得y＝|3x﹣1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x﹣1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点.
答案：{0}∪[1，＋∞)
【迁移探究2】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x﹣1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.

解析：作出函数y＝|3x﹣1|＋m的图象如图所示.

由图象知m≤﹣1，即m∈(﹣∞，﹣1].
答案：(﹣∞，﹣1]

应用指数函数图象的3个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

1.函数f(x)＝ax﹣b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.00 D.0 解析：选D.由f(x)＝ax﹣b的图象可以观察出函数f(x)＝ax﹣b在定义域上单调递减，所以0 2.若关于x的方程|ax﹣1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________.
解析：方程|ax﹣1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax﹣1|与y＝2a有两个交点.
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求.

所以0＜a＜.
答案：(0,).
考点三　指数函数的性质及应用(综合型)
借助指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性.
核心素养：数学抽象、直观想象
角度一　比较指数幂的大小
已知a＝()，b＝2，c＝()，则下列关系式中正确的是(　　)
A.c C.a 【解析】　把b化简为b＝()，而函数y＝()x在R上为减函数，
又>>，所以()<()<()，即b 【答案】　B

比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系.
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.
角度二　解简单的指数方程或不等式
不等式()<()恒成立，则a的取值范围是________.
【解析】　由题意，y＝()x是减函数，因为()<()恒成立，
所以x2＋ax>2x＋a﹣2恒成立，所以x2＋(a﹣2)x﹣a＋2>0恒成立，
所以Δ＝(a﹣2)2﹣4(﹣a＋2)<0，即(a﹣2)(a﹣2＋4)<0，即(a﹣2)(a＋2)<0，
解得﹣2 【答案】　(﹣2，2)

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.

角度三　研究指数型函数的性质
(1)函数f(x)＝()的单调递减区间为________.
(2)已知函数f(x)＝2|2x﹣m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
【解析】　(1)设u＝﹣x2＋2x＋1，因为y＝()u在R上为减函数，
所以函数f(x)＝()的减区间即为函数u＝﹣x2＋2x＋1的增区间.
又u＝﹣x2＋2x＋1的增区间为(﹣∞，1]，所以函数f(x)的减区间为(﹣∞，1].
(2)令t＝|2x﹣m|，则t＝|2x﹣m|在区间[,+∞)上单调递增，在区间(﹣∞,]上单调递减.而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x﹣m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(﹣∞，4].
【答案】　(1)(﹣∞，1]　(2)(﹣∞，4]

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
当0
1.函数y＝()的值域是(　　)
A.(﹣∞，4) B.(0，＋∞) C.(0，4] D.[4，＋∞)
解析：选C.设t＝x2＋2x﹣1，则y＝()t.因为0<<1，所以y＝()t为关于t的减函数.因为t＝(x＋1)2﹣2≥﹣2，所以0 2.已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1 A.0 解析：选C.因为x>0时，11.因为x>0时，bx0时，()x>1.所以>1，所以a>b.所以1 3.若偶函数f(x)满足f(x)＝2x﹣4(x≥0)，则不等式f(x﹣2)>0的解集为________.
解析：因为f(x)为偶函数，当x<0时，﹣x>0，则f(x)＝f(﹣x)＝2﹣x﹣4.
所以f(x)＝
当f(x﹣2)>0时，
有或解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.
答案：{x|x>4或x<0}

[基础题组练]
1.若函数f(x)＝(2a﹣5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)
A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析：选A.由指数函数的定义知2a﹣5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数.
2.设函数f(x)＝x2﹣a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a﹣1)0.2与N＝()0.1的大小关系是(　　)
A.M＝N B.M≤N C.MN
解析：选D.因为f(x)＝x2﹣a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a﹣1)0.2>1，N＝()0.1<1，所以M>N，故选D.
3.(多选)已知函数f(x)＝ax﹣1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)
A.y＝＋2 B.y＝|x﹣2|＋1
C.y＝log2(2x)＋1 D.y＝2x﹣1
解析：选ABC.函数f(x)＝ax﹣1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x﹣1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2).把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点.
4.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)

解析：选B.由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0﹣1，所以﹣1 5.已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)
A.偶函数，在[0，＋∞)内单调递增
B.偶函数，在[0，＋∞)内单调递减
C.奇函数，且单调递增
D.奇函数，且单调递减
解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1﹣2﹣x，﹣f(x)＝2﹣x﹣1，此时﹣x<0，则f(﹣x)＝2﹣x﹣1＝﹣f(x)；当x<0时，f(x)＝2x﹣1，﹣f(x)＝1﹣2x，此时﹣x>0，则f(﹣x)＝1﹣2﹣(﹣x)＝1﹣2x＝﹣f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
6.函数y＝ax﹣b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________.
解析：因为函数y＝ax﹣b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax﹣b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x＝0，则y＝a0﹣b＝1﹣b，由题意得解得故ab∈(0，1).
答案：(0，1)
7.若函数f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________.
解析：由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝().
因为g(x)＝|2x﹣4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞).
答案：[2，＋∞)
8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b﹣1)的大小关系是________.
解析：由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b﹣1)＝g(﹣1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b﹣1).
答案：g(a)>g(b﹣1)
9.已知函数f(x)＝()ax，a为常数，且函数的图象过点(﹣1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4﹣x﹣2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.

解：(1)由已知得()﹣a＝2.解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝()x，
又g(x)＝f(x)，则4﹣x﹣2＝()x，所以()x﹣()x﹣2＝0，
令()x＝t，则t>0，t2﹣t﹣2＝0，即(t﹣2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即()x＝2.解得x＝﹣1，
故满足条件的x的值为﹣1.
10.已知函数f(x)＝()|x|﹣a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值.
解：(1)令t＝|x|﹣a，则f(x)＝()t，不论a取何值，t在(﹣∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝()t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(﹣∞，0]，
单调递减区间是(0，＋∞).
(2)由于f(x)的最大值是，且＝()﹣2，
所以函数g(x)＝|x|﹣a应该有最小值﹣2，从而a＝2.
[综合题组练]
1.(创新型)设y＝f(x)在(﹣∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1﹣4x，若对于任意x∈(﹣∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(﹣∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可.
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝﹣t2＋2t＝﹣(t﹣1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.

2.已知函数f(x)＝|2x﹣1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0 C.2﹣a<2c D.2a＋2c<2
解析：选D.作出函数f(x)＝|2x﹣1|的图象，如图，

因为af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a﹣1|＝1﹣2a<1，所以f(c)<1，所以0 所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c﹣1|＝2c﹣1，又因为f(a)>f(c)，所以1﹣2a>2c﹣1，
所以2a＋2c<2，故选D.
3.函数y＝(x∈R)的值域为________.
解析：y＝＝＝1﹣，因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<<1，﹣1<﹣<0，0<1﹣<1，即0 答案：(0，1)
4.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[﹣1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3﹣10m)是单调递增函数，则a＝________.
解析：根据题意，得3﹣10m>0，解得m<；
当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[﹣1，2]上单调递增，
最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a﹣1＝＝>，不合题意，舍去；
当0 最小值为m＝a2＝<，满足题意.综上，a＝.
答案：
5.已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(﹣3≤x≤3).
(1)若g(x)在[﹣3，3]上是单调函数，求a的取值范围；
(2)当a＝﹣1时，求函数y＝f(g(x))的值域.
解：(1)g(x)＝(x＋a)2﹣a2图象的对称轴为直线x＝﹣a，因为g(x)在[﹣3，3]上是单调函数，所以﹣a≥3或﹣a≤﹣3，即a≤﹣3或a≥3.
故a的取值范围为(﹣∞，﹣3]∪[3，＋∞).
(2)当a＝﹣1时，f(g(x))＝2x2﹣2x(﹣3≤x≤3).
令u＝x2﹣2x，y＝2u.
因为x∈[﹣3，3]，所以u＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1∈[﹣1，15].
而y＝2u是增函数，所以≤y≤215，
所以函数y＝f(g(x))的值域是[，215].
6.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)<0恒成立，求k的取值范围.
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.
又由f(1)＝﹣f(﹣1)知＝﹣，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝﹣＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)<0等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)＝f(﹣2t2＋k).
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2﹣2t>﹣2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<﹣.
故k的取值范围为(﹣∞,﹣).