(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第4章 第1讲　变化率与导数、导数的计算 (2份打包，原卷版+教师版)

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第1讲　变化率与导数、导数的计算


一、知识梳理
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.
[提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0).
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn﹣1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝﹣sin_x
f(x)＝ax (a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
(3)[]′＝(g(x)≠0).
[提醒]　求导常见易错点：
①公式(xn)′＝nxn﹣1与(ax)′＝axln a相互混淆；
②公式中“＋”“﹣”号记混，如出现如下错误：
[]′＝，(cos x)′＝sin x.
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
2.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
二、教材衍化
1.函数y＝xcos x﹣sin x的导数为(　　)
A.xsin x B.﹣xsin x　　 C.xcos x D.﹣xcos x
解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′﹣(sin x)′＝cos x﹣xsin x﹣cos x＝﹣xsin x.
2.曲线y＝1﹣在点(﹣1，﹣1)处的切线方程为________.
解析：因为y′＝，所以y′|x＝﹣1＝2.故所求切线方程为2x﹣y＋1＝0.
答案：2x﹣y＋1＝0

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×


二、易错纠偏
(1)混淆平均变化率与导数的区别；
(2)导数的运算法则运用不正确.
1.函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________.
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；
因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3　4
2.函数y＝的导函数为________.
解析：y′＝＝.
答案：y′＝

考点一　导数的运算(基础型)
复习指导1.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
核心素养：数学运算
角度一　求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝3xex﹣2x＋e.
【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝(ln x＋)′＝(ln x)′＋()′＝﹣.
(3)y′＝(3xex)′﹣(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′﹣(2x)′
＝3xexln 3＋3xex﹣2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x﹣2xln 2.







[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.
角度二　求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.
【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，
所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝﹣.
【答案】　﹣

对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值.

1.下列求导运算正确的是(　　)
A.()′＝x B.(x2ex)′＝2x＋ex
C.(xcos x)′＝﹣sin x D.(1-)′＝1＋
解析：选D.对于A：()′＝﹣·(ln x)′＝﹣，
对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，对于C：(xcos x)′＝cos x﹣xsin x，
对于D：(x-)′＝1＋.
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝﹣12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30﹣24＝6.
3.求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cos x)； (2)y＝； (3)y＝ln x.
解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x(-sinx)＝ln x＋cos x﹣xsin x＋1.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝()ln x＋·＝.
考点二　导数的几何意义(基础型)
复习指导了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，通过函数图象直观地理解导数的几何意义.
核心素养：直观想象、数学运算
角度一　求切线方程
(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，﹣1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________.
【解析】(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为点(0，﹣1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0).又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0.
【答案】　(1)y＝3x　(2)x﹣y﹣1＝0


求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率.
(2)由点斜式方程求得切线方程为y﹣f(x0)＝f′(x0)·(x﹣x0).
[注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点.

角度二　求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x﹣y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e).
【答案】　(e，e)
【迁移探究】　(变条件)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为________.
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，所以切线方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0.
答案：x﹣y﹣1＝0

求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值
已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A.a＝e，b＝﹣1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e﹣1，b＝1 D.a＝e﹣1，b＝﹣1
【解析】　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y﹣ae＝(ae＋1)(x﹣1)，即y＝(ae＋1)x﹣1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得解得故选D.
【答案】　D

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

1.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，﹣1)处的切线方程为(　　)
A.x﹣y﹣π﹣1＝0 B.2x﹣y﹣2π﹣1＝0
C.2x＋y﹣2π＋1＝0 D.x＋y﹣π＋1＝0
解析：选C.依题意得y′＝2cos x﹣sin x，y′|x＝π＝(2cos x﹣sin x)|x＝π＝2cos π﹣sin π＝﹣2，因此所求的切线方程为y＋1＝﹣2(x﹣π)，即2x＋y﹣2π＋1＝0，故选C.


2.如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是________；f(2)＋f′(2)的值为________.　

解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝＝﹣，
可得直线l的方程为y＝﹣x＋4，即为x＋2y﹣8＝0；由导数的几何意义可得f′(2)＝﹣，
则f(2)＋f′(2)＝3﹣＝.
答案：x＋2y﹣8＝0　
3.已知函数f(x)＝ln x﹣ax(a∈R)的图象与直线x﹣y＋1＝0相切，则实数a的值为________.
解析：设直线x﹣y＋1＝0与函数f(x)＝ln x﹣ax的图象的切点为P(x0，y0)，
因为f′(x)＝﹣a，所以由题意，得，解得a＝﹣1.
答案：﹣1

[基础题组练]
1.(多选)下列求导数运算正确的有(　　)
A.(sin x)′＝cos x　　 B.()′＝ C.(log3x)′＝ D.(ln x)′＝
解析：选AD.因为(sin x)′＝cos x，()′＝﹣，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正确.
2.已知曲线y＝﹣3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
解析：选A.因为y′＝﹣，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.


3.已知函数f(x)可导，则 等于(　　)
A.f′(x) B.f′(2) C.f(x) D.f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝ ，所以 ＝f′(2).
4.函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，﹣5)，则b的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，又g′(x)＝3x2＋5x＋，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y＝11x﹣5，
由于点(1，＋b)在切线上，所以＋b＝11﹣5，解得b＝.故选B.
5.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)

解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x) 与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.
6.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________.
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7.若函数f(x)＝x3＋(t﹣1)x﹣1的图象在点(﹣1，f(﹣1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________.
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t﹣1)x﹣1，所以f′(x)＝3x2＋t﹣1.因为函数f(x)的图象在点(﹣1，f(﹣1))处的切线平行于x轴，所以f′(﹣1)＝3×(﹣1)2＋t﹣1＝2＋t＝0，解得t＝﹣2.此时f(x)＝x3﹣3x﹣1，f(﹣1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：﹣2　y＝1
8.已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________.
解析：y′＝﹣＋，当x＝1时，y′＝﹣1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，
所以（﹣1＋）（-）＝﹣1，解得a＝.
答案：
9.求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2﹣4x)(2x＋1)； (2)y＝sin(1﹣2cos2)； (3)y＝.
解：(1)因为y＝(3x2﹣4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2﹣8x2﹣4x＝6x3﹣5x2﹣4x，
所以y′＝18x2﹣10x﹣4.
(2)因为y＝sin(﹣cos)＝﹣sin x，
所以y′＝(﹣sin x)′＝﹣(sin x)′＝﹣cos x.
(3)y′＝＝＝.
10.已知曲线y＝x3＋x﹣2在点P0处的切线l1平行于直线4x﹣y﹣1＝0，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
解：(1)由y＝x3＋x﹣2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝﹣4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(﹣1，﹣4).
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为﹣.
因为l过切点P0，点P0的坐标为(﹣1，﹣4)，
所以直线l的方程为y＋4＝﹣(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.



[综合题组练]
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A.﹣1 B.0 C.3 D.4
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为﹣，即f′(3)＝﹣，
又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(﹣)＝0.
2.(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e﹣x C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x
解析：选AC.对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e﹣x，则f′(x)＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求.
3.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x﹣a1)·(x﹣a2)·…·(x﹣a8)，则f′(0)＝(　　)
A.26 B.29 C.212 D.215
解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x﹣a1)(x﹣a2)·…·(x﹣a8)]＋[(x﹣a1)·(x﹣a2)·…·(x﹣a8)]′·x＝(x﹣a1)(x﹣a2)·…·(x﹣a8)＋[(x﹣a1)(x﹣a2)·…·(x﹣a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0﹣a1)(0﹣a2)·…·(0﹣a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C.
4.设曲线C：y＝3x4﹣2x3﹣9x2＋4，在曲线C上一点M(1，﹣4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选C.y′＝12x3﹣6x2﹣18x，则y′|x＝1＝12×13﹣6×12﹣18×1＝﹣12，所以曲线y＝3x4﹣2x3﹣9x2＋4在点M(1，﹣4)处的切线方程为y＋4＝﹣12(x﹣1)，即12x＋y﹣8＝0.联立解得或或
故切线与曲线C还有其他的公共点(﹣2，32)，(，0)，
所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C
5.已知函数f(x)＝x3＋(1﹣a)x2﹣a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解：f′(x)＝3x2＋2(1﹣a)x﹣a(a＋2).
(1)由题意得解得b＝0，a＝﹣3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1﹣a)x﹣a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1﹣a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠﹣.
所以a的取值范围为(-∞,﹣)∪(﹣,+∞).
6.已知抛物线C：y＝﹣x2＋x﹣4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限.
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝﹣x＋x1﹣4，② 将①代入②得x＋(k-)x1＋4＝0.
因为P为切点，所以Δ＝((k-)2﹣16＝0，得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝﹣2，y1＝﹣17. 当k＝时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，所以k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝﹣2x＋5.③
将③代入抛物线方程得，x2﹣x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，所以x2＝，y2＝﹣4.
所以Q点的坐标为(,-4).