(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第8章 第6讲　立体几何中的向量方法 (2份打包，原卷版+教师版)

第6讲　立体几何中的向量方法

一、知识梳理

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝．

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α﹣l﹣β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α﹣l﹣β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

常用结论

利用空间向量求距离

(1)两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.

(2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.

二、教材衍化

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．

3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(　　)

(2)已知a＝(﹣2，﹣3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(﹣4，﹣6，2)，则a∥c，a⊥b.(　　)

(3)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(　　)

二、易错纠偏

(1)异面直线所成角的取值范围出错；

(2)二面角的取值范围出错．

1．已知2a＋b＝(0，﹣5，10)，c＝(1，﹣2，﹣2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．

2．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝﹣，则l与α所成的角为________．

考点一　异面直线所成的角(基础型)

能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题．

核心素养：数学运算

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．

[提醒]　注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．　

如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．

考点二　直线与平面所成的角(基础型)

能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题．

核心素养：数学运算

　如图，在几何体ACD﹣A1B1C1D1中，四边形ADD1A1与四边形CDD1C1均为矩形，平面ADD1A1⊥平面CDD1C1，B1A1⊥平面ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；

(2)求直线B1C1与平面B1CE所成角的正弦值．

(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝﹣β或θ＝β﹣.

[提醒]　求解直线和平面所成角，要注意直线的方向向量与平面法向量的夹角和所求角之间的关系，线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．　

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.

(1)证明：MN⊥PC；

(2)设H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．

考点三　二面角(综合型)

能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

核心素养：数学运算、逻辑推理

如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求二面角A­MA1­N的正弦值．

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．　

如图，已知四棱锥S­ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分别为棱AD，BC的中点，P，Q为侧棱SD上的三等分点．

(1)求证：PN∥平面MQC；

(2)若SA＝SD＝，求二面角D­SA­N的余弦值．

[基础题组练]

1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为(　　)

A．         B．       C．         D．

2.如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为(　　)

A．         B．     C．         D．

3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

4.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．

5.如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.

(1)求证：BD⊥平面ACFE；

(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．

6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°.

(1)证明：BM⊥平面PAC；

(2)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．

7. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．

[综合题组练]

1．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，BC⊥PB，E是AD的中点．

(1)求证：BE⊥PD；

(2)若直线AB与平面PAD所成角的正弦值为，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

2．如图①，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图②)，且PB＝BE.

(1)证明：EF⊥平面PBE；

(2)设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．

3．如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图②所示的二面角，且二面角的大小为60°，点M在线段AB上(包含端点)，连接AD.

(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；

(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角M­EC­F的余弦值；若不存在，说明理由．