(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第9章 第6讲　双曲线 (2份打包，原卷版+教师版)

第6讲　双曲线

一、知识梳理

1.双曲线的定义

[注意]　

(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

常用结论

1.双曲线中的几个常用结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.

2.巧设双曲线方程

(1)与双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为﹣＝t(t≠0).

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0).

二、教材衍化

1.双曲线﹣＝﹣1的实轴长________，离心率________，渐近线方程________.

2.经过点A(3，﹣1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

3.以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，﹣4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.(　　)

(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞).(　　)

(3)方程﹣＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

二、易错纠偏

(1)忽视双曲线定义的条件致误；

(2)忽视双曲线焦点的位置致误.

1.平面内到点F1(0，4)，F2(0，﹣4)的距离之差等于6的点的轨迹是________.

2.坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为________.

考点一　双曲线的定义(基础型)

了解双曲线的定义及几何图形.

核心素养：数学抽象

(1)已知双曲线C：﹣＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(　　)

A.2或14        B.2      C.14        D.2或10

(2)设F1，F2是双曲线﹣y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________.

【迁移探究】

(变设问)在本例(2)条件下，则△F1PF2的周长为________.

双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|﹣|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系.

[注意]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

1.设F1，F2分别是双曲线x2﹣＝1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　)

A.6        B.4       C.8        D.4或8

2.已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

考点二　双曲线的标准方程(基础型)

了解双曲线的标准方程.

核心素养：数学运算

(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A.x2﹣＝1     B.﹣y2＝1   C.x2﹣＝1(x≤﹣1)     D.x2﹣＝1(x≥1)

(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则双曲线C的方程为________.

求双曲线标准方程的方法

(1)定义法

根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：

①c2＝a2＋b2；

②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.

(2)待定系数法

①一般步骤

②常用设法

(i)与双曲线﹣＝1共渐近线的方程可设为﹣＝λ(λ≠0)；

(ii)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为﹣＝λ(λ≠0)；

(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn＜0)或mx2＋ny2＝1(mn＜0).　

1.双曲线C的两焦点分别为(﹣6，0)，(6，0)，且经过点(﹣5，2)，则双曲线的标准方程为(　　)

A.﹣＝1        B.﹣＝1    C.﹣＝1        D.﹣＝1

2.设双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)

A.﹣＝1        B.﹣＝1    C.﹣＝1        D.x2﹣＝1

考点三　双曲线的几何性质(综合型)

了解双曲线的简单几何性质.

核心素养：　数学运算

角度一　双曲线的渐近线问题

已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的实轴长是虚轴长的倍，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y＝±2x        B.y＝±x     C.y＝±x        D.y＝±x

求双曲线的渐近线的方法

求双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)或﹣＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令﹣＝0，得y＝±x；或令﹣＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为﹣＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0).

[说明]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.　

角度二　双曲线的离心率问题

(1)若双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为(　　)

A.8        B.4        C.2        D.

(2)(一题多解)设F为双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)

A.        B.       C.2        D.

(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法

①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2﹣a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.

(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.　

1.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为(　　)

A.2　        B.4         C.6        D.8

2.若双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为(　　)

A.        B.      C.        D.2

3.已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为________.

[基础题组练]

1.已知双曲线﹣y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)

A.         B.4         C.2        D.

2.若双曲线C1：﹣＝1与C2：﹣＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A.2        B.4      C.6        D.8

3.设双曲线x2﹣＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)

A.10        B.8      C.8        D.16

4.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y＝±x        B.y＝±x     C.y＝±x        D.y＝±2x

5.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)

A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C.点P的横坐标为±1

D.△PF1F2的面积为

6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.

7.已知点P(1，)在双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点.若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________，其离心率为________.

8.如图，F1，F2是双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________.

9.已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y﹣5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.

10.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，﹣).

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.

[综合题组练]

1.设双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y＝±x        B.y＝±x    C.y＝±x        D.y＝±x

2.过双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(﹣c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)

A.        B.        C.＋1        D.

3.已知M(x0，y0)是双曲线C：﹣y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若·＜0，则y0的取值范围是________.

4.已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为________.

5.已知双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.

6.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，虚轴长为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点.