吉林省长春市博硕学校2023-2024学年高三数学上学期期初考试试题（Word版附答案）

长春博硕学校2023—2024学年度上学期

高三年级期初考试     数学学科试卷

考试时间：90分钟    满分：120分

命题人：        审题人：    

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1．已知集合M，下列选项正确的是（   ）

A．M  B．M              C．M             D．M 

2.（   ）

A．充分不必要条件                           B．必要不充分条件     

C．充要条件                                 D．既不充分也不必要条件

3. 某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布，

若，则总分高于530分的考生人数为（    ）

A. 2400 B. 3520 C. 8520 D. 12480

4. 已知，则=（    ）

A. 15 B. 16 C. 7 D. 8

5．在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为　　

A． B． C． D．

6．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、

丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为　　

A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2

7. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”，“乐”，“射”，“御”，“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，若课程“乐”不排在第一周，课程“御”

不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（   ）

A．216 B．480 C．504 D．624

8. 已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（   ）

A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

二、多选题（本题共2小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分.）

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若关于的不等式的解集为，则

D. 若a>0, b>0，则“”是“”的必要不充分条件

10．已知函数，则　　

A．在是增函数                      B．有极大值点，且

C．的极小值点，且          D．没有零点

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

11. 函数的定义域是________．

12. 曲线y＝在点（1,－1）处的切线方程为_______.

13. 已知m，n是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为______.

14. 已知定义在上的连续函数满足：

①在上单调  ②

③对恒成立 ④对恒成立

若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为______.

四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

15.（10分）已知

（1）解上述不等式；

（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.

16.（12分）甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行.已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为，在客场（乙校）获胜的概率为，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变.

（1）求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；

（2）设篮球联谊赛比赛进行的场数为X，求随机变量X的分布列与期望.

17.（14分）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类

产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区

间的概率．

(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．

表中．根据散点图判断， 可以作为年销售量

（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）

(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

18.（14分）（1）证明：当时，；

（2）是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

高三年级期初考试    数学试卷参考答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

二、多选题（本题共2小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

三、填空题（共4小题，每小题5分）

11.  {x | x>2或x≤-6}

12. 2x＋y－1＝0

13.                           

14.  9

四、解答题（共50分）

15.（1）由题意得

所以不等式的解集为

（2）

，则

16. 【详解】（1）设事件A为：“甲队以3胜1负的成绩赢得冠军”，

则.

（2）由题意：X的可能取值为3，4，5.

则，，

，故随机变量X的分布列为：

则.

17．(1)                                 （2）4元，256万元

【详解】（1）由得，，

令，则，由表中数据可得，，

则，∴，

即，∵，∴，∴所求的回归方程为．

（2）由题意及（1）得，设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，

由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，

∴，，，所以随机变量的分布列为：

所以，故每件产品的平均销售利润为4元；

设年收益为Z万元，则，设，

则，

当时，，在单週递增，

当时，，在单调递减，∴当，即时，Z有最大值为768，

∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．

18. 【详解】（1）设，，

由，且时，，时，，

则，可得（*）；

由（*）可知，当时，得，原不等式得证；

（2），则，

设，则，

在上单调递增在上恒成立，

注意到，只需在处取得最小值，易知其必要条件为，则，

下面证明充分性：当时：

，则，故，

①当时，，

所以在上单调递增，即在上单调递增；

②当时，若，则，

若，，所以在上递减，即在上递减. 由①②可知，，故当时，在上单调递增.

当，由（1）知时，

，当时，，单调递减，不合题意；当时：同理可得时，，

当时，，单调递减，不合题意；

综上所述：当时，函数在上单调递增.