2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可.

【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数.

故选：D

2．若集合，且集合有且只有两个子集，则a的值为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定

【答案】C

【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值.

【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，

当时，为满足题意.

当时，只有一个根，则：

，

所以，

综上所述：或.

故选：C.

3．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由于为偶函数，所以，然后由在上是增函数比较大小即可.

【详解】因为为偶函数，所以，

因为在上是增函数，且，

所以，所以，

故选：D

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合奇偶性定义判断其奇偶性，可排除两个选项，再根据常见函数的单调性，判断函数在上的单调性即可确定.

【详解】解：函数，定义域为，所以

所以函数为偶函数，故排除选项B，C；

当时，，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项D符合，排除A.

故选：D.

5．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由二次函数的性质，结合已知单调区间可得，即可求a的取值范围.

【详解】由题设，开口向上且对称轴为，

要使在上是增函数，则，可得.

故选：B

6．已知实数a、b满足，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数的运算法则化简，再借用基本不等式可得的范围，再利用可得的范围，在构造新函数，借助放缩法可得的大小关系.

【详解】，

，         

令，，

则

所以当时，，即    

故选：D.

7．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，通过函数的最小值为0及定义域可知函数在处取得最小值，再通过对函数的分段讨论及函数的最大值为求出实数a的取值范围.

【详解】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即，

则，

因为函数的值域为，所以

当时，有，即，得，即;

当时，有，即，得，即.

综上，实数a的取值范围为.

故选：D.

8．函数，若有个零点，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.

【详解】由，可得，

解得或，如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象有两个交点，

又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，

所以，且，

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最小值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

【答案】AD

【分析】A.利用“1”代换求最值

B.直接运用基本不等式

C.先把式子变形，再运用基本不等式

D.先构造，再运用基本不等式

【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确.

B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误.

C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误.

D.因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故选项D正确.

故选：AD.

10．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．在区间（0，3）上单调递减 D．在区间（0，3）上单调递增

【答案】BC

【分析】利用函数奇偶性以及单调性的定义，结合对数的运算法则以及对数函数的定义域，可得答案.

【详解】由函数，则可得，解得，即该函数的定义域为，

由，则函数为偶函数，

取任意，令，则，

，，且，则，即，

可得，故函数在上单调递减，

故选：BC.

11．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．f(t)=t2与g(x)=x2 B．f(x)=x+2与g(x)= C．f(x)=|x|与g(x)= D．f(x)=x与g(x)=2

【答案】AC

【分析】逐项判断各选项中与的定义域、解析式是否完全相同即可判断两函数是否相等.

【详解】A选项，与定义域都为，定义域、解析式均相同，是同一函数；

B选项，的定义域为，的定义域为，

定义域不同，不是同一函数；

C选项，，与定义域、解析式均相同，是同一函数；

D选项，的定义域为，，定义域为

两函数定义域不同，不是同一函数.

故选：AC

12．狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:,下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．是偶函数 D．的值域为

【答案】AC

【分析】根据选项对两种情况分类讨论,即可得出A,C的正误,时,,所以,选项B错误,由可知,,选项D错误.

【详解】解:由题知,

关于选项A,

当时,,

,

当时,,

,

故选项A正确;

关于选项B,

当时,,

,

故选项B错误;

关于选项C,

当时,,

,

当时,,

,

为偶函数,

故选项C正确;

关于选项D,

由解析式可知,

故选项D错误.

故选:AC

三、填空题

13．若一元二次不等式的解集是，则的值是      ．

【答案】

【分析】结合一元二次不等式的性质可知，和是关于的一元二次方程的实数根，然后利用韦达定理求解即可.

【详解】因为一元二次不等式的解集是，

所以和是关于的一元二次方程的实数根，

故，

解得，，从而，

故答案为：．

14．若函数满足：是偶函数，且在上单调递增，则关于m的不等式的解集为      ．

【答案】

【分析】根据偶函数的性质，结合图象平移的性质进行求解即可.

【详解】设，

函数的图象向左平移1个单位得到的图象，即的图象，

因为在上单调递增，

所以在上单调递增，而是偶函数，

因此由

，

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据偶函数的性质是解题的关键.

15．已知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】首先判断函数的性质，不等式转化为或，再求解不等式的解集.

【详解】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,

不等式等价于，即，解得：或；

或，即 ，解集为；

综上可知，不等式的解集为.

故答案为：

16．已知为正实数，且满足，则的取值范围为           ．

【答案】

【分析】先求得，然后结合基本不等式求得正确答案.

【详解】由，得，

所以，，当且仅当时等号成立，

，

当且仅当时等号成立.

的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）当时，用函数单调性定义证明在上单调递减．

【答案】（1）函数为奇函数；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断；

（2）利用函数的单调性的定义证明.

【详解】（1）函数的定义域为，

∵，

∴函数为奇函数．

（2）证明：任取，

则，

，

∵，

∴，即，

∴，即，

故当时，在上单调递减．

18．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题：

(1)证明函数为偶函数；

(2)判定函数的单调性并加以证明；

(3)若，解不等式．

【答案】(1)证明见解析；

(2)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析；

(3).

【分析】（1）由分别令、求出，即可令按定义证得偶函数；

（2）根据定义证单调性，区别是由说明符号；

（3）由得，再进一步求得，由函数单调性，结合的符号分类讨论去绝对值，即可结合及单调性求解.

【详解】（1）由于对定义域内任意，都有，

取，则，

取，则，

取，则，所以是偶函数；

（2）在上单调递增，在上单调递减. 证明如下：

令，则，由时得，

∵，

∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增；

（3）∵，.

由且在上单调递减；

当时，原不等式可化为：，则得；

当时，原不等式可化为：，即，得；

当时，由是偶函数可得或.

故原不等式的解集是：．

19．已知函数满足．

(1)求函数的解析式；

(2)若不等式对恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）联立方程即可求解，

（2）根据函数的单调性和奇偶性，将问题转化为对恒成立，进而分离参数，利用不等式求最即可.

【详解】（1） ，解得：．

（2），和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数，

又函数的定义域为，则，所以为奇函数，

即对恒成立，

整理得：对恒成立，

当时，不等式等价于对恒成立，，

当时，，

令，，

由于

所以，当时取等，∴，

综上：．

20．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若对于任意的恒成立，求满足条件的实数m的最小值M .

(3)对于(2)中的M，正数a，b满足，证明: .

【答案】(1) 当时， 为偶函数, 当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.

【分析】(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;

(2)将不等式转化为对任意的都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;

(3)由(2)知,所以,再根据变形可证.

【详解】(1)(i)当m=1时，，,

因为,

所以为偶函数；

(ii)当时,,,,,

 所以既不是奇函数也不是偶函数.

(2) 对于任意的,即恒成立，

所以对任意的都成立,

设,

则为上的递减函数,

所以时,取得最大值1,

所以,即.

所以.

 (3)证明: 由(2)知,

，所以,

,

，当且仅当时取等号，①

又

，当且仅当时取等号，②

由①②得，,

所以,

【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.

21．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为；②为奇函数，为偶函数；③（常数e是自然对数的底数，）.利用上述性质，解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)解不等式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得，再根据函数的奇偶性化简后，与原式联立方程组可求出，

（2）先判断的单调性，再由其单调性解不等式

【详解】（1）由，得，

因为为奇函数，为偶函数，

所以，

由，解得，

（2），

因为和在上均为增函数，

所以在上为增函数，

由，得，

所以，

所以，即，

令（），则，即，

解得（舍去），或，

所以，得，

所以不等式的解集为.

22．已知函数y=f(x)的定义域为R，且对一切xR都有f(x)+2f(-x)=-(+1)x+3a恒成立.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意有，消去，即可得出答案；

（2），分类讨论，即可得出答案.

【详解】（1）解：由题，

消去，得；

（2）解：由(1)有，

①当时，；

②当时，

1)若，即时，解为或；

2)若，即时，解为或；

③当时，

1）若，即时，解为；

2）若，即时，解为；

综合有：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或；

当时，解集为或.