2022-2023学年广东省东莞实验中学高一上学期月考（二）数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞实验中学高一上学期月考（二）数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】，

故选：D.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由，

由不一定能推出，但是由一定能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.

故选：C

4．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：

对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；

对于B：取进行否定；

对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；

对于D：取进行否定.

【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；

对于B：当时，取时，有.故B不正确；

对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

对于D：当，取时，有.故D不正确.

故选：C.

【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）判断不等式成立的解题思路：

①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.

5．设实数满足，函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：A．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

6．下列函数是幂函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的定义判断.

【详解】形如（为常数且）为幂函数，

所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.

故选：C.

7．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)

【答案】C

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

8．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.

【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，

其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.

故选：B．

二、多选题

9．（多选）下列三角函数值中符号为负的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.

【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；

故选：BCD．

10．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数可能是（    ）

A． B． C．2 D．或

【答案】AB

【分析】根据弧长公式和面积公式即可求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为 ，则，

∴解得 或，则或1.

 故选：AB．

11．若角的终边上有一点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据三角函数的定义计算，注意分类讨论．

【详解】若的终边上有一点，

则，

，

所以.

故选：AD.

12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的解集为

C．

D．的解集为

【答案】AD

【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为或，

所以且方程的两个根为，，

即.

因此选项A正确；

因为，，所以由，因此选项B不正确；

由可知：，因此选项C不正确；

因为，所以由，

解得：，因此选项D正确，

故选：AD

三、填空题

13．函数的定义域是            

【答案】

【分析】根据题意得，解不等式即可得答案.

【详解】要使函数有意义，则需满足，解得且.

故函数的定义域是.

故答案为：

14．计算：      ．

【答案】18

【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可

【详解】

故答案为：18

15．已知是第四象限角，且，则      .

【答案】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式即可得出结论．

【详解】由三角函数定义可知：是第四象限角，

且，则，

可得，

．

故答案为：

四、双空题

16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则        ，        ．

【答案】          1

【解析】根据幂的运算性质可知，，即可求出的值；

用对数式表示出和，根据对数运算性质和换底公式即可求出．

【详解】因为，所以，即，，

故．

故答案为：；1．

【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，以及对数运算性质和换底公式的应用，属于基础题．

五、解答题

17．已知集合

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），，（2）

【分析】（1）先求出集合B，再求，然后求，

（2）由，可得答案

【详解】解：（1）由，得，所以，

所以或，

因为，所以，

（2）因为，，，

所以，

所以实数的取值范围为，

18．已知函数，．

(1)当时，求的最值；

(2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可.

（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围．

【详解】（1）当时，，

∴在上单凋递减，在上单调递增，

∴，.

（2），

∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．

∴实数a的取值范围为．

19．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可；

（2）在所求代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切求解即可.

【详解】（1）解：由，得，原式.

（2）解：原式.

20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，

（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的可求得结果

【详解】（1）由图可知直线的斜率为，

所以图像中线段的方程为，

因为点在曲线上，所以，解得，

所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，

（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，

即，解得，

所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室

21．已知函数．

(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；

（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，

故函数的图象与x轴有公共点，

所以，解得或．

故实数m的取值范围为．

（2）因为在内单调递增，

所以在内单调递减且恒正，

所以，解得．

故实数m的取值范围为．

22．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式的解集；

(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，

即，即，

因为，所以，所以（经检验，符合题意）

（2）由（1）得，

因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，

又，所以，

所以，即，

所以，所以不等式的解集是.

（3）因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，

所以恒成立，所以，

因为，

所以当，即时，取得最小值.

所以，即实数k的取值范围是